Sendo \(a\) e \(b\) números reais positivos tais que \(\log _{\sqrt{3}} a=224\) e \(\log _{\sqrt{3}} b=218\), calcule o valor de \(a/b\).

Para resolver a questão, vamos usar as propriedades dos logaritmos. Dado que: \[ \log_{\sqrt{3}} a = 224 \quad \text{e} \quad \log_{\sqrt{3}} b = 218 \] Podemos reescrever essas equações na forma exponencial: 1. \( a = (\sqrt{3})^{224} \) 2. \( b = (\sqrt{3})^{218} \) Agora, queremos calcular \( \frac{a}{b} \): \[ \frac{a}{b} = \frac{(\sqrt{3})^{224}}{(\sqrt{3})^{218}} \] Usando a propriedade dos expoentes, temos: \[ \frac{a}{b} = (\sqrt{3})^{224 - 218} = (\sqrt{3})^{6} \] Sabemos que \( \sqrt{3} = 3^{1/2} \), então: \[ (\sqrt{3})^{6} = (3^{1/2})^{6} = 3^{6/2} = 3^{3} = 27 \] Portanto, o valor de \( \frac{a}{b} \) é: \[ \frac{a}{b} = 27 \]