f) \(\log _{\frac{1}{12}} \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\)

Para resolver a expressão \(\log _{\frac{1}{12}} \sqrt[3]{\frac{1}{2}}\), podemos usar a mudança de base e algumas propriedades dos logaritmos. 1. Reescrevendo a raiz cúbica: \[ \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} = 2^{-\frac{1}{3}} \] 2. Substituindo na expressão: \[ \log_{\frac{1}{12}} \left(2^{-\frac{1}{3}}\right) \] 3. Usando a propriedade do logaritmo: \[ \log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b) \] Portanto: \[ \log_{\frac{1}{12}} \left(2^{-\frac{1}{3}}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \log_{\frac{1}{12}}(2) \] 4. Mudança de base: Para calcular \(\log_{\frac{1}{12}}(2)\), podemos usar a mudança de base: \[ \log_{\frac{1}{12}}(2) = \frac{\log(2)}{\log\left(\frac{1}{12}\right)} = \frac{\log(2)}{-\log(12)} \] 5. Substituindo de volta: Assim, temos: \[ \log_{\frac{1}{12}} \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\log(2)}{-\log(12)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\log(2)}{\log(12)} \] Portanto, a resposta final é: \[ \log_{\frac{1}{12}} \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\log(2)}{\log(12)} \]