Determine uma representação paramétrica para a parte da esfera que está acima do cone.

Para determinar uma representação paramétrica da parte da esfera que está acima do cone, vamos considerar a esfera de raio \( R \) e o cone definido pela equação \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \). A equação da esfera é dada por: \[ x^2 + y^2 + z^2 = R^2 \] A parte da esfera que está acima do cone corresponde à região onde \( z \geq \sqrt{x^2 + y^2} \). Uma representação paramétrica da esfera pode ser feita usando coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são dadas por: \[ x = R \sin(\theta) \cos(\phi) \] \[ y = R \sin(\theta) \sin(\phi) \] \[ z = R \cos(\theta) \] Aqui, \( \theta \) é o ângulo polar (medido a partir do eixo \( z \)) e \( \phi \) é o ângulo azimutal (medido no plano \( xy \)). Para a parte da esfera que está acima do cone, precisamos garantir que \( z \geq \sqrt{x^2 + y^2} \). Substituindo as expressões paramétricas, temos: \[ R \cos(\theta) \geq \sqrt{(R \sin(\theta) \cos(\phi))^2 + (R \sin(\theta) \sin(\phi))^2} \] Isso simplifica para: \[ R \cos(\theta) \geq R \sin(\theta) \] Dividindo ambos os lados por \( R \) (assumindo \( R > 0 \)): \[ \cos(\theta) \geq \sin(\theta) \] Isso implica que: \[ \tan(\theta) \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \theta \leq \frac{\pi}{4} \] Portanto, a representação paramétrica da parte da esfera que está acima do cone é dada por: \[ \begin{cases} x = R \sin(\theta) \cos(\phi) \\ y = R \sin(\theta) \sin(\phi) \\ z = R \cos(\theta) \end{cases} \] onde \( 0 \leq \phi < 2\pi \) e \( 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} \).