Para aplicar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) e mostrar que a função \( f(x) = x^3 - 7x^2 + 3x + 2 \) possui duas raízes reais distintas no intervalo \((-1, 5)\), siga os passos abaixo: 1. Calcule \( f(-1) \) e \( f(5) \): - \( f(-1) = (-1)^3 - 7(-1)^2 + 3(-1) + 2 = -1 - 7 - 3 + 2 = -9 \) - \( f(5) = (5)^3 - 7(5)^2 + 3(5) + 2 = 125 - 175 + 15 + 2 = -33 \) 2. Verifique os valores de \( f(x) \) em pontos intermediários: - Calcule \( f(0) \): - \( f(0) = 0^3 - 7(0)^2 + 3(0) + 2 = 2 \) - Calcule \( f(2) \): - \( f(2) = 2^3 - 7(2)^2 + 3(2) + 2 = 8 - 28 + 6 + 2 = -12 \) - Calcule \( f(4) \): - \( f(4) = 4^3 - 7(4)^2 + 3(4) + 2 = 64 - 112 + 12 + 2 = -34 \) 3. Análise dos sinais: - Temos \( f(-1) = -9 \) (negativo), \( f(0) = 2 \) (positivo) e \( f(2) = -12 \) (negativo). - Isso indica que existe uma raiz no intervalo \((-1, 0)\) (pois muda de negativo para positivo). - Entre \( f(0) = 2 \) e \( f(2) = -12 \), também há uma mudança de sinal, indicando outra raiz no intervalo \((0, 2)\). 4. Conclusão: - Portanto, pelo Teorema do Valor Intermediário, a função \( f(x) \) possui pelo menos duas raízes reais distintas no intervalo \((-1, 5)\): uma no intervalo \((-1, 0)\) e outra no intervalo \((0, 2)\). Assim, mostramos que a função possui duas raízes reais distintas no intervalo dado.