Mostre que a derivada de uma função par é uma função ímpar. Mostre que a derivada de uma função par é uma função ímpar.

Para mostrar que a derivada de uma função par é uma função ímpar, vamos considerar uma função \( f(x) \) que é par. Isso significa que: \[ f(-x) = f(x) \] para todo \( x \) no domínio da função. Agora, vamos calcular a derivada \( f'(x) \) e verificar se ela é ímpar. Para isso, precisamos analisar \( f'(-x) \): Usando a definição de derivada, temos: \[ f'(-x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-x + h) - f(-x)}{h} \] Como \( f \) é par, podemos substituir \( f(-x + h) \) e \( f(-x) \): \[ f'(-x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-(-x + h)) - f(-x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x - h) - f(x)}{h} \] Agora, podemos fazer uma substituição \( k = -h \), o que implica que \( h = -k \) e quando \( h \to 0 \), \( k \to 0 \): \[ f'(-x) = \lim_{k \to 0} \frac{f(x + k) - f(x)}{-k} = -\lim_{k \to 0} \frac{f(x + k) - f(x)}{k} = -f'(x) \] Portanto, temos que: \[ f'(-x) = -f'(x) \] Isso mostra que \( f' \) é uma função ímpar. Assim, concluímos que a derivada de uma função par é uma função ímpar.