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Mostre que valem as proposições abaixo:
Mostre que valem as proposições abaixo:
a) A derivada da função g:  → [0, p] - {2p} dada por g (y) = arcsec(y) é g'(y) = 2 1 1y y − .
b) A derivada da função g:  → [0, p] - {2p} dada por g (y) = arccossec(y) é g'(y) = - 2 1 1y y − .
c) A derivada da função g:  → (- 2p , 2p ) dada por g (y) = arccotg (y) é g'(y) = - 2 1 1 y+ .

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Para determinar a validade das proposições sobre as derivadas, vamos analisar cada uma delas. a) A derivada da função $ g(y) = \text{arcsec}(y) $ é dada por: \[ g'(y) = \frac{1}{|y| \sqrt{y^2 - 1}} \] Portanto, a proposição $ g'(y) = \frac{2}{1 - y} $ não está correta. b) A derivada da função $ g(y) = \text{arccossec}(y) $ é dada por: \[ g'(y) = -\frac{1}{|y| \sqrt{y^2 - 1}} \] Assim, a proposição $ g'(y) = -\frac{2}{1 - y} $ também não está correta. c) A derivada da função $ g(y) = \text{arccotg}(y) $ é dada por: \[ g'(y) = -\frac{1}{1 + y^2} \] A proposição $ g'(y) = -\frac{2}{1 + y} $ não está correta. Nenhuma das proposições apresentadas está correta. Portanto, você deve revisar as derivadas e as expressões dadas. Se precisar de mais ajuda, sinta-se à vontade para perguntar!

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Usamos o limite para descrever o comportamento de uma função à medida que o argumento da função tende a um determinado valor. O conceito de limite é usado para definir outros conceitos, como derivada e continuidade de funções. Analise as afirmacoes abaixo e classifique-as em verdadeiro (V) ou falso (F).
Classifique as afirmações abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F).
a) (V) O limite de uma função da forma f (x) = ax + b, quando x tende para 0 é b.
b) (F) Do Teorema do Confronto, podemos concluir que se ( )lim 0 x a f x → = e ( )lim x a g x → = ∞, então ( ) ( )lim 0 x a f x g x → ⋅ = .
c) (F) Quando calculamos limites, podemos encontrar indeterminações, uma indeterminação representa um único valor real.
d) (F) Se ( ) 1limx a f x L→ = e ( ) 2limx a g x L→ = então ( ) ( ) 1 2 lim x a f x L g x L→ = , para qualquer L1 e L2.

A definição de limite usando e e d foi introduzida pelo matemático Karl Weierstrass para formalizar o conceito, essa definição tornou as demonstrações de propriedades e teoremas do cálculo mais lógicas e concretas. Classifique as propriedades de limites abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F):
Classifique as propriedades de limites abaixo em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) (V) O limite da soma de funções é a soma dos limites dessas funções.
b) (F) O limite da diferença entre duas funções é igual a zero.
c) (F) O limite de uma função multiplicada por uma constante é igual à constante.
d) (V) O limite do produto de duas funções é o produto dos limites dessas funções.
e) (F) O limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções.

Uma população de bactérias está crescendo segundo a função ( ) 5 0,1 0,1 10 1 99 t t ep t e = + , onde t é o tempo em dias e p(t) é o número de indivíduo no tempo t. Os pesquisadores estão preocupados com o crescimento dessa população e fizeram as seguintes análises. Qual das afirmações abaixo está correta?
Qual das afirmações abaixo está correta?
a) ( ) Quando t = 0 o número de indivíduos da população era igual a 199.
b) ( ) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de indivíduos vai ao infinito.
c) ( ) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de indivíduos vai decrescendo e tende a zero.
d) (x) Quando o tempo vai aumentando, tendendo ao infinito, o número de indivíduos tende para 100.000.

Um tanque contém 5.000 litros de água pura. É bombardeada para dentro do tanque, a uma taxa de 25L/min, uma solução que contém 30 gramas de sal por litro de água. A concentração de sal em gramas por litro após t minutos é dada pela função O que acontece com a concentração de sal quando t = ∞?
O que acontece com a concentração de sal quando t = ∞?
a) ( ) A concentração tende para infinito.
b) ( ) A concentração tende para zero.
c) (x) A concentração estabiliza em 30 g/L.
d) ( ) Nada podemos afirmar.

Verifique se a função f (x) = x4 – 2x3 – 2x² + 2x possui pelo menos uma raiz no intervalo (1, 3).
Verifique se a função f (x) = x4 – 2x3 – 2x² + 2x possui pelo menos uma raiz no intervalo (1, 3).

Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função f (x) = x3 - 7x2 + 3x + 2 possui duas raízes reais distintas no intervalo (-1, 5).
Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função f (x) = x3 - 7x2 + 3x + 2 possui duas raízes reais distintas no intervalo (-1, 5).

O conceito de função contínua é muito importante no estudo de funções, as funções contínuas em geral são as funções que apresentam mais propriedades, muitos teoremas importantes da matemática são válidos somente para funções contínuas. Em relação a funções contínuas, considere a função ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 a) b) c) sec 2 f x x xf x x f x x x = − = − = − ( ) 2 2 , se 0 0, se 0 x x xf x x x  + + ≠=   = e avalie as afirmações abaixo.
É correto o que se afirma em
I. f está definida no ponto x = 0;
II. ( ) 0 lim x f x → existe;
III. ( ) ( ) 0 lim 0 x f x f → = .
a) ( x ) I, apenas.
b) ( ) I e II, apenas.
c) ( ) I e III, apenas.
d) ( ) I, II e III.

Um estacionamento cobra R$ 15,00 na primeira hora e, a cada hora que passa, mais R$ 5,00. Sabendo que o estacionamento funciona por 10 horas e que nenhum carro pode ficar no estacionamento quando ele está fechado, determine os pontos de descontinuidade da função que relaciona o tempo estacionado com o valor pago.
Determine os pontos de descontinuidade da função que relaciona o tempo estacionado com o valor pago.

Situações que podem ser modeladas por funções contínuas estão muito presentes no cotidiano das pessoas. Avalie as situações a seguir se elas podem ser modeladas por uma função contínua ou não, se a situação pode ser modelada por uma função contínua, use C; caso contrário, use D (descontínua).
Avalie as situações a seguir se elas podem ser modeladas por uma função contínua ou não.
a) ( C ) A temperatura em um local específico como uma função do tempo.
b) ( C ) O custo de uma corrida de táxi como uma função da distância percorrida.
c) ( C ) A velocidade de um automóvel como uma função do tempo.
d) ( D ) O valor pago como uma função da quantidade das unidades compradas.

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Considere a função a) Calcule a derivada de f e determine o domínio de f'.
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