Para estudar as funções quadráticas \(y = 12x - 3x^2\) e \(y = 4 - 18x - 3x^2\), podemos seguir alguns passos: 1. Identificação da forma padrão: Ambas as funções estão na forma \(y = ax^2 + bx + c\), onde \(a\), \(b\) e \(c\) são constantes. Para a primeira função, \(a = -3\), \(b = 12\) e \(c = 0\). Para a segunda, \(a = -3\), \(b = -18\) e \(c = 4\). 2. Vértice: O vértice de uma função quadrática pode ser encontrado pela fórmula \(x_v = -\frac{b}{2a}\). - Para \(y = 12x - 3x^2\): \[ x_v = -\frac{12}{2 \cdot -3} = 2 \] Substituindo \(x_v\) na função para encontrar \(y_v\): \[ y_v = 12(2) - 3(2^2) = 24 - 12 = 12 \] Portanto, o vértice é \( (2, 12) \). - Para \(y = 4 - 18x - 3x^2\): \[ x_v = -\frac{-18}{2 \cdot -3} = 3 \] Substituindo \(x_v\) na função: \[ y_v = 4 - 18(3) - 3(3^2) = 4 - 54 - 27 = -77 \] O vértice é \( (3, -77) \). 3. Interseções com o eixo y: Para encontrar onde a função cruza o eixo y, basta substituir \(x = 0\). - Para \(y = 12x - 3x^2\): \[ y(0) = 12(0) - 3(0^2) = 0 \] - Para \(y = 4 - 18x - 3x^2\): \[ y(0) = 4 - 18(0) - 3(0^2) = 4 \] 4. Interseções com o eixo x: Para encontrar as raízes, igualamos a função a zero e resolvemos. - Para \(y = 12x - 3x^2\): \[ 0 = 12x - 3x^2 \implies 3x(4 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ ou } x = 4 \] - Para \(y = 4 - 18x - 3x^2\): \[ 0 = 4 - 18x - 3x^2 \implies 3x^2 + 18x - 4 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} \] 5. Gráficos: Ambas as funções são parábolas que abrem para baixo (já que \(a < 0\)). O gráfico da primeira função terá seu vértice em \( (2, 12) \) e cruzará o eixo x em \(0\) e \(4\). A segunda função terá um vértice em \( (3, -77) \) e cruzará o eixo y em \(4\). Esses passos ajudam a relacionar o conteúdo de funções quadráticas com o que foi aprendido anteriormente, permitindo uma compreensão mais profunda do comportamento dessas funções.