Para resolver essa questão, precisamos usar a fórmula do volume de um cone, que é: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] onde \( V \) é o volume, \( r \) é o raio da base e \( h \) é a altura do cone. Dado que o volume está sendo adicionado a uma taxa de \( \frac{dV}{dt} = 3 \) m³/min, queremos encontrar a taxa de variação da altura \( \frac{dh}{dt} \) quando \( h = 3 \) metros. 1. Relacionar o raio e a altura: Se não houver uma relação dada entre o raio e a altura, podemos assumir que o cone é semelhante em todas as alturas. Por exemplo, se o raio é proporcional à altura, podemos escrever \( r = k \cdot h \), onde \( k \) é uma constante. 2. Substituir \( r \) na fórmula do volume: \[ V = \frac{1}{3} \pi (k h)^2 h = \frac{1}{3} \pi k^2 h^3 \] 3. Derivar em relação ao tempo: \[ \frac{dV}{dt} = \frac{1}{3} \pi k^2 \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} \] \[ \frac{dV}{dt} = \pi k^2 h^2 \frac{dh}{dt} \] 4. Substituir \( \frac{dV}{dt} \) e \( h \): \[ 3 = \pi k^2 (3^2) \frac{dh}{dt} \] \[ 3 = 9\pi k^2 \frac{dh}{dt} \] 5. Isolar \( \frac{dh}{dt} \): \[ \frac{dh}{dt} = \frac{3}{9\pi k^2} = \frac{1}{3\pi k^2} \] Para encontrar a taxa de variação da altura \( \frac{dh}{dt} \), precisamos do valor de \( k \). Se \( k \) não for fornecido, não podemos calcular um valor numérico exato. Se você tiver essa relação, substitua \( k \) e calcule \( \frac{dh}{dt} \).