Para resolver o problema, vamos seguir os passos: 1. Definições: - Seja \( x \) a largura do campo (perpendicular ao rio) e \( y \) o comprimento do campo (ao longo do rio). - A cerca será colocada em três lados: dois lados de largura \( x \) e um lado de comprimento \( y \). 2. Custo da cerca: - O custo total da cerca é dado por \( C = 2x + y \). - Como o custo total é R$ 10.000, temos a equação: \[ 2x + y = 10.000 \] - Podemos isolar \( y \): \[ y = 10.000 - 2x \] 3. Área do campo: - A área \( A \) do campo é dada por: \[ A = x \cdot y = x(10.000 - 2x) = 10.000x - 2x^2 \] 4. Maximização da área: - Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza a área, derivamos \( A \) em relação a \( x \) e igualamos a zero: \[ \frac{dA}{dx} = 10.000 - 4x \] \[ 10.000 - 4x = 0 \implies 4x = 10.000 \implies x = 2.500 \] 5. Encontrando \( y \): - Substituindo \( x \) na equação de \( y \): \[ y = 10.000 - 2(2.500) = 10.000 - 5.000 = 5.000 \] 6. Conclusão: - As dimensões do campo de maior área que pode ser cercado são: - Largura \( x = 2.500 \) metros - Comprimento \( y = 5.000 \) metros Assim, o campo retangular terá 2.500 metros de largura e 5.000 metros de comprimento para maximizar a área.