Para encontrar o inverso multiplicativo de um elemento \( x \) em \( \mathbb{Q}(\sqrt{7}) \), precisamos encontrar um elemento \( y \) tal que \( x \cdot y = 1 \). Dado \( x = 2 + 3\sqrt{7} \), o inverso multiplicativo pode ser encontrado utilizando a forma \( y = \frac{a + b\sqrt{7}}{c} \), onde \( a \) e \( b \) são números racionais que precisamos determinar. O inverso multiplicativo de \( x \) pode ser calculado como: \[ y = \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + 3\sqrt{7}} \cdot \frac{2 - 3\sqrt{7}}{2 - 3\sqrt{7}} = \frac{2 - 3\sqrt{7}}{(2 + 3\sqrt{7})(2 - 3\sqrt{7})} \] Calculando o denominador: \[ (2 + 3\sqrt{7})(2 - 3\sqrt{7}) = 2^2 - (3\sqrt{7})^2 = 4 - 63 = -59 \] Portanto, temos: \[ y = \frac{2 - 3\sqrt{7}}{-59} = -\frac{2}{59} + \frac{3}{59}\sqrt{7} \] Agora, analisando as alternativas: 1. O inverso multiplicativo de x é \( \frac{3}{59} - \frac{2}{59}\sqrt{7} \) - Não é correto. 2. x não possui inverso multiplicativo - Não é correto, pois encontramos o inverso. 3. O inverso multiplicativo de x é x - Não é correto, pois \( x \cdot x \neq 1 \). 4. O inverso multiplicativo de x é \( -\frac{2}{59} + \frac{3}{59}\sqrt{7} \) - Esta é a forma correta que encontramos. 5. O inverso multiplicativo de x é \( -2 - 3\sqrt{7} \) - Não é correto. Portanto, a alternativa correta é: O inverso multiplicativo de x é \( -\frac{2}{59} + \frac{3}{59}\sqrt{7} \).