Para resolver essa questão, precisamos integrar a função derivada \( f'(x) = x + \sin(x) \) para encontrar \( f(x) \). 1. Integração: Vamos integrar \( f'(x) \): \[ f(x) = \int (x + \sin(x)) \, dx \] A integral de \( x \) é \( \frac{x^2}{2} \) e a integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Portanto: \[ f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos(x) + C \] onde \( C \) é uma constante de integração. 2. Condição inicial: Sabemos que \( f(0) = 0 \): \[ f(0) = \frac{0^2}{2} - \cos(0) + C = 0 \] Como \( \cos(0) = 1 \), temos: \[ 0 - 1 + C = 0 \implies C = 1 \] 3. Função final: Assim, a função é: \[ f(x) = \frac{x^2}{2} - \cos(x) + 1 \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( f(x) = -1 + x^2 - \cos(x) \) b) \( f(x) = -1 + \frac{x^2}{2} + \cos(x) \) c) \( f(x) = -1 + \cos(x) \) d) \( f(x) = 1 + \frac{x^2}{2} - \cos(x) \) e) \( f(x) = 1 + \frac{x}{2} - \cos(x) \) A única alternativa que corresponde à nossa função \( f(x) = 1 + \frac{x^2}{2} - \cos(x) \) é a d). Portanto, a resposta correta é: d) \( f(x) = 1 + \frac{x^2}{2} - \cos(x) \).