Para resolver a equação diferencial \( y'' + 4y' + 13y = 0 \), precisamos encontrar a solução da equação característica associada, que é dada por: \[ r^2 + 4r + 13 = 0 \] Calculando o discriminante: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 \] Como o discriminante é negativo, teremos raízes complexas. As raízes são: \[ r = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = -2 \pm 3i \] Assim, a solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(x) = e^{-2x}(A \cos(3x) + B \sin(3x)) \] onde \( A \) e \( B \) são constantes reais. Analisando as alternativas: A) \( ae^{-3x} + be^{-2x} \) - Não é a forma correta. B) \( a \cos(3x) + b \sin(3x) \) - Não inclui o fator exponencial correto. C) \( a e^{-2x} \cos(3x) + b e^{-2x} \sin(3x) \) - Esta é a forma correta. D) \( ae^{-2x} + bxe^{-2x} \) - Não é a forma correta. E) \( a \cos(2x) + b \sin(2x) \) - Não é a forma correta. Portanto, a alternativa correta é: C) \( a e^{-2x} \cos(3x) + b e^{-2x} \sin(3x) \).