Se A e uma matriz 2×2 com traco 5 e determinante 6, quais sao seus autovalores? a) 1 e 6 b) 2 e 3 c) -1 e -6 d) 0 e 5

Para encontrar os autovalores de uma matriz \( A \) \( 2 \times 2 \) com traço \( t = 5 \) e determinante \( d = 6 \), podemos usar as seguintes relações: 1. O traço da matriz (soma dos autovalores) é igual a \( \lambda_1 + \lambda_2 = 5 \). 2. O determinante da matriz (produto dos autovalores) é igual a \( \lambda_1 \cdot \lambda_2 = 6 \). Vamos chamar os autovalores de \( \lambda_1 \) e \( \lambda_2 \). Temos então o sistema: \[ \lambda_1 + \lambda_2 = 5 \] \[ \lambda_1 \cdot \lambda_2 = 6 \] Podemos substituir \( \lambda_2 \) por \( 5 - \lambda_1 \) na segunda equação: \[ \lambda_1 \cdot (5 - \lambda_1) = 6 \] Isso se torna: \[ 5\lambda_1 - \lambda_1^2 = 6 \] Rearranjando, obtemos: \[ \lambda_1^2 - 5\lambda_1 + 6 = 0 \] Agora, podemos fatorar a equação: \[ (\lambda_1 - 2)(\lambda_1 - 3) = 0 \] Portanto, os autovalores são \( \lambda_1 = 2 \) e \( \lambda_2 = 3 \). Assim, a alternativa correta é: b) 2 e 3.