em qual intervalo a função f(x) = ln(x) - 2sen(x) possui raiz real?

Para encontrar o intervalo em que a função \( f(x) = \ln(x) - 2\sen(x) \) possui raiz real, precisamos analisar o comportamento da função. 1. Domínio: A função \( \ln(x) \) está definida para \( x > 0 \). Portanto, consideramos \( x > 0 \). 2. Comportamento em limites: - Quando \( x \) se aproxima de 0 (pela direita), \( \ln(x) \) tende a \( -\infty \) e \( -2\sen(x) \) oscila entre -2 e 2. Assim, \( f(x) \) tende a \( -\infty \). - Quando \( x \) tende a \( +\infty \), \( \ln(x) \) tende a \( +\infty \) e \( -2\sen(x) \) continua oscilando. Portanto, \( f(x) \) também tende a \( +\infty \). 3. Análise de pontos críticos: Para encontrar raízes, podemos calcular \( f(x) \) em alguns pontos: - \( f(1) = \ln(1) - 2\sen(1) = 0 - 2\sen(1) < 0 \) (já que \( \sen(1) > 0 \)) - \( f(2) = \ln(2) - 2\sen(2) \) (calcule para verificar se é positivo ou negativo) 4. Teorema do valor intermediário: Como \( f(x) \) é contínua e muda de sinal entre \( x = 1 \) e \( x = 2 \), podemos afirmar que existe pelo menos uma raiz real nesse intervalo. Portanto, a função \( f(x) = \ln(x) - 2\sen(x) \) possui pelo menos uma raiz real no intervalo \( (1, 2) \).