Para que uma função tenha uma derivada em um ponto \( a \), é necessário que a função seja contínua nesse ponto e que o limite da razão das diferenças exista e seja finito. Isso é fundamental para garantir que a derivada, que representa a taxa de variação instantânea, esteja bem definida. Analisando as alternativas: a) A função deve ser contínua em \( a \) e a taxa de variação média ser finita - A taxa de variação média não é suficiente para garantir a derivabilidade. b) A função deve ser contínua em \( a \) e limitada em torno de \( a \) - A continuidade é necessária, mas a limitação não é uma condição suficiente para a derivabilidade. c) A função deve ser contínua em \( a \) e o limite da razão de diferenças deve existir e ser finito - Esta é a condição correta para a derivabilidade. d) A função deve ser diferenciável em todos os pontos próximos a \( a \) - Isso não é necessário; a derivabilidade em \( a \) não requer que a função seja diferenciável em todos os pontos próximos. Portanto, a alternativa correta é: c) A função deve ser contínua em \( a \) e o limite da razão de diferenças deve existir e ser finito.