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Cálculo IV
Lista de Exerćıcios 3
1 Questões
1. Geometricamente, qual é a interpretação da integral
∫∫
A
1 dA? E
∫∫∫
V
1 dV ?
2. Na mudança de variável nas integrais múltiplas aparece um termo multiplicativo,
chamado Jacobiano, que em duas dimensões é denotado geralmente por
∂(x, y)
∂(u, v)
.
Como é o seu cálculo? Afeta o cálculo da integral a troca das linhas e colunas na
expressão de
∂(x, y)
∂(u, v)
? Por quê?
3. Há um sistema de coordenadas frequentemente utilizado em duas dimensões como
alternativas às coordenadas cartesianas, que é o sistema de coordenadas polares.
Na mudança de variáveis, ao mudar de coordenadas cartesianas para as polares,
que expressões descrevem x(r, θ) e y(r, θ)? Como fica
∂(x, y)
∂(r, θ)
?
4. Em três dimensões há sistemas de coordenadas alternativos para se descrever os
pontos do espaço, sendo os principais o sistema de coordenadas esféricas e o sistema
de coordenadas ciĺındricas.
Na mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas, como ficam as
representações x(ρ, θ, ϕ), y(ρ, θ, ϕ) e z(ρ, θ, ϕ)? Qual o valor de
∂(x, y, z)
∂(ρ, θ, ϕ)
?
Na mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas ciĺındricas, como ficam
as representações x(r, θ, z), y(r, θ, z) e z(r, θ, z)? Qual o valor de
∂(x, y, z)
∂(r, θ, z)
?
5. O que diz o Teorema de Green?
2 Problemas
1. Resolva as seguintes integrais
(a)
∫ 3
0
∫ 4
0
xy2 dx dy
1
(b)
∫ π/2
0
∫ π
0
cos(x+ y) dx dy
(c)
∫ 3
0
∫ 4
0
5 dx dy
(d)
∫ b
a
∫ d
c
f(x)g(y) dx dy, sabendo-se que
∫ d
c
f(x) dx = 2 e
∫ b
a
g(y) dy = π.
(e)
∫ 1
0
∫ 3
0
yx dx dy
(f)
∫ 2
0
∫ 1
−1
(x− y) dx dy
(g)
∫ 1
0
∫ 1
−1
(x+ y)2 dx dy
(h)
∫ 1
0
∫ π
2
0
x cos(xy) dx dy
2. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração em cada integral a
seguir.
(a)
∫ 1
0
∫ √
y
0
f(x, y) dx dy
(b)
∫ 2
0
∫ 2−y
0
f(x, y) dx dy
(c)
∫ 1
0
∫ 1−x
x−1
f(x, y) dy dx
(d)
∫ 1
−1
∫ √
1−x2
0
f(x, y) dy dx
(e)
∫ 1
0
∫ 3
√
y
y3
f(x, y) dx dy
(f)
∫ 1
0
∫ x
0
f(x, y) dy dx
3. Resolva as integrais a seguir:
(a)
∫ 1
0
∫ √
y
0
xy dx dy
(b)
∫ 2
0
∫ 2−y
0
x+ y dx dy
(c)
∫ 1
0
∫ 1−x
x−1
yf(x) dy dx
(d)
∫ 1
−1
∫ √
1−x2
0
5 dy dx
2
(e)
∫ 1
0
∫ 3
√
y
y3
x2y dx dy
(f)
∫ 1
0
∫ 1
y
cos
(
πx2
2
)
dy dx
4. Considere A a região finita delimitada pelos gráficos das funções f(x) = x2 e g(x) =
1− x2. Calcule
∫∫
A
y dA.
5. Calcule a integral
∫∫
A
dA, em que A é a região delimitada pelas curvas y = e−x,
y = 1 e x = ln(3).
6. Calcule a integral
∫∫
A
x2y dA, em que A é a região delimitada pelas retas y = 1−x,
y = x+ 1 e y = 0.
7. Descreva as regiões a seguir em coordenadas polares:
(a)
2
2
1
1
√
3
√
3
x
y
(b)
2
2
1
1
√
3
x
y
(c) 1
1
x
y
(d)
2
2
1
1
√
2
√
2
−
√
2
x
y
8. Calcule as integrais a seguir:
3
(a)
∫∫
R
x2y dA, em que R é a metade superior do disco de raio 3 e centro na
origem.
(b)
∫∫
R
(2x − y) dA, em que R é a região do primeiro quadrante delimitada pelo
ćırculo x2 + y2 = 4 e as retas x = 0 e y = x.
(c)
∫∫
R
sen(x2 + y2) dR, em que A é a região do primeiro quadrante entre os
ćırculos de centro na origem de raios 1 e 3.
(d)
∫∫
R
y2
x2 + y2
dA, sendo R a região entre os ćırculos x2+ y2 = a2 e x2+ y2 = b2,
com 0 < a < b.
(e)
∫∫
R
e−x2−y2 dA, onde R é a região delimitada pelo semićırculo x =
√
4− y2 e
o eixo y.
(f)
∫∫
R
cos(
√
x2 + y2) dA, onde R é o disco com centro na origem e raio 2.
9. Calcule as integrais a seguir:
(a)
∫∫∫
V
(1 + 2x− 3y) dV , na região −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2 e −3 ≤ z ≤ 3.
(b)
∫∫∫
V
xyz dV na região 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 0 e 1 ≤ z ≤ 4.
(c)
∫∫∫
D
(3 + 2xy) dV , na hemiesfera identificada por x2 + y2 + z2 ≤ 4 e 0 ≤ z.
(d)
∫∫∫
R
x dV no tetraedro delimitado pelo plano
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1 e pelos planos
coordenados.
(e)
∫∫∫
C
(x2 + y2) dV no cubo 0 ≤ x, y, z ≤ 1.
(f)
∫∫∫
C
(x2 + y2 + z2) dV no cubo 0 ≤ x, y, z ≤ 1.
(g)
∫∫∫
C
(yz2e−xyz) dV no cubo 0 ≤ x, y, z ≤ 1.
10. Descreva as regiões a seguir em termos das coordenadas solicitadas.
(a) Região delimitada pela esfera x2 + y2 + z2 = 1 e pelo paraboloide z = x2 + y2
em coordenadas esféricas e ciĺındricas.
(b) Região delimitada pela esfera x2 + y2 + z2 = 1 e pelo cone z2 = x2 + y2 em
coordenadas esféricas e ciĺındricas.
(c) Região delimitada pelo cilindro x2 + y2 = 4, e os planos z = 0 e z = 1, com
x ≥ 0 e y ≥ 0 em coordenadas ciĺındricas.
(d) Região entre as esferas x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 + z2 = 4 com x ≥ 0, y ≥ 0 e
z ≥ 0 em coordenadas esféricas.
4
11. Utilizando integrais triplas, nas coordenadas apropriadas, calcule os volumes de
cada uma das regiões da questão anterior.
12. Calcule
∫∫∫
V
z(x + y) dx dy dz, em que V é a região do cone z2 = x2 + y2 que
satisfaz 0 ≤ x, 0 ≤ y, 0 ≤ z ≤ 1.
13. Utilize coordenadas esféricas para calcular∫ 2
−2
∫ √
4−y2
0
∫ √
4−x2−y2
−
√
4−x2−y2
y2
√
x2 + y2 + z2 dz dx dy
14. Utilize a transformação x = u2, y = v2 e z = w2 para determinar o volume da
região limitada pela superf́ıcie
√
x+
√
y +
√
z = 1 e pelos planos coordenados.
15. Calcule o volume do elipsoide de equação
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
16. Use o Teorema de Green para calcular as integrais de linha a seguir, usando ori-
entação positiva.
(a)
∫
C
yex dx + 2ex dy, onde C é o retângulo com vértices (0, 0), (3, 0), (3, 4),
(0, 4).
(b)
∫
C
(x2+y2)dx+(x2−y2)dy, em que C é o triângulo com vértices (0, 0), (2, 1)
e (0, 1).
(c)
∫
C
y3 dx− x3 dy, onde C é o ćırculo x2 + y2 = 4.
17. Se C é o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), mostre que∫
C
xdy − ydx = x1y2 − x2y1
Se os vértices de um poĺıgono, em sentido anti-horário, são (x1, y1), (x2, y2), . . . ,
(xn, yn), mostre também que a área do poĺıgono é
A =
1
2
[(x1y2 − x2y1) + (x2y3 − x3y2) + · · ·+ (xn−1yn − xnyn−1) + (xny1 − x1yn)].
Por fim, use a fórmula acima para calcular a área do pentágono de vértices (0, 0),
(2, 1), (1, 3), (0, 2) e (−1, 1).
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