Para resolver a equação diferencial homogênea dada \( y' = \frac{x + y}{2x} \), podemos reescrevê-la na forma padrão e aplicar a técnica de separação de variáveis ou substituição. Primeiro, vamos rearranjar a equação: \[ y' = \frac{1}{2} + \frac{y}{2x} \] Agora, podemos usar a substituição \( v = \frac{y}{x} \), o que implica que \( y = vx \) e \( y' = v + x \frac{dv}{dx} \). Substituindo na equação, obtemos: \[ v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2} + \frac{vx}{2} \] Resolvendo essa equação, chegamos a uma solução que pode ser expressa em uma das opções. Após resolver, a solução correta se encaixa na forma: e) \( \ln|yx + 1| = \frac{1}{2} \ln|x| + C \) Portanto, a alternativa correta é: e. ln|yx+1|=12ln|x|+C.