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Geometria Analítica

Dados os pontos U=(3,1,-4), e V=(0,2,7), encontre:
a) um vetor W unitário e perpendicular a U e V .
b) a área do triângulo definido por a U e V.
c) o cosseno do ângulo entre os vetores a U e V.
d) o volume do prisma definido pelos vetores a U,V e W .


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Há mais de um mês

a) Um vetor que é ao mesmo tempo perpendicular a dois outros é dado pelo produto vetorial entre os dois:

\(\begin{align} \lambda\vec{W}&=\vec{U}\times\vec{V}\\ &=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\3&1&-4\\0&2&7\end{vmatrix}\\ &=(15,-21,6) \end{align}\)

Para determinar \(\lambda\), lembremos que o vetor é unitário, cujo módulo é 1:

\(\begin{align} \vert\vert\vec{W}\vert\vert&={1\over\vert\lambda\vert}\vert\vert(15,-21,6)\vert\vert\\ 1&={3\over\vert\lambda\vert}\sqrt{5^2+7^2+2^2}\\ \vert\lambda\vert&=3\sqrt{25+49+4}\\ \lambda&=\pm3\sqrt{78} \end{align}\)

Substituindo na expressão anterior, temos:

\(\boxed{\vec{W}=\pm{1\over\sqrt{78}}(5,-7,2)}\)

b) A área de um triângulo definido por dois vetores é dada por:

\(\begin{align} A_T&={1\over2}\vert\vert\vec{U}\times\vec{V}\vert\vert\\ &={1\over2}\vert\vert(15,-21,6)\vert\vert \end{align}\)

Já claculamos o módulo no item anterior, o que nos leva a:

\(\boxed{A_T={3\over2}\sqrt{78}}\)

c) O produto escalar entre dois vetores pode ser escrito de duas formas distintas:

\(\vec{U}\cdot\vec{V}=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=\vert\vert\vec{U}\vert\vert\cdot\vert\vert\vec{V}\vert\vert\cos\theta\)

sendo \(\theta\) o ângulo entre os vetores. Temos então, para o valor pedido:

\(\begin{align} \cos\theta&={x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\over\vert\vert\vec{U}\vert\vert\cdot\vert\vert\vec{V}\vert\vert}\\ &={3\cdot0+1\cdot2-4\cdot7\over\sqrt{3^2+1^2+4^2}\cdot\sqrt{0^2+2^2+7^2}}\\ &={0+2-28\over\sqrt{9+1+16}\cdot\sqrt{0+4+49}}\\ &=-{26\over\sqrt{26}\cdot\sqrt{53}}\\ \end{align}\)

Temos, portanto:

\(\boxed{\cos\theta=-\sqrt{26\over53}}\)

d) O volume de um prisma definido por três vetores é dado por:

\(\begin{align} V_P&=\vec{W}\cdot(\vec{U}\times\vec{V})\\ &=\vec{W}\cdot\vert\lambda\vert\vec{W}\\ &=\vert\lambda\vert\cdot\vert\vert\vec{W}\vert\vert^2\\ &=\vert\lambda\vert\cdot\left[{1\over\vert\lambda\vert}\vert\vert(15,-21,6)\vert\vert\right]^2\\ &={1\over\vert\lambda\vert}(2A_T)^2\\ &={1\over3\sqrt{78}}\left(2\cdot{3\over2}\sqrt{78}\right)^2\\ \end{align}\)

Finalmente:

\(\boxed{V_P=3\sqrt{78}}\)

a) Um vetor que é ao mesmo tempo perpendicular a dois outros é dado pelo produto vetorial entre os dois:

\(\begin{align} \lambda\vec{W}&=\vec{U}\times\vec{V}\\ &=\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\3&1&-4\\0&2&7\end{vmatrix}\\ &=(15,-21,6) \end{align}\)

Para determinar \(\lambda\), lembremos que o vetor é unitário, cujo módulo é 1:

\(\begin{align} \vert\vert\vec{W}\vert\vert&={1\over\vert\lambda\vert}\vert\vert(15,-21,6)\vert\vert\\ 1&={3\over\vert\lambda\vert}\sqrt{5^2+7^2+2^2}\\ \vert\lambda\vert&=3\sqrt{25+49+4}\\ \lambda&=\pm3\sqrt{78} \end{align}\)

Substituindo na expressão anterior, temos:

\(\boxed{\vec{W}=\pm{1\over\sqrt{78}}(5,-7,2)}\)

b) A área de um triângulo definido por dois vetores é dada por:

\(\begin{align} A_T&={1\over2}\vert\vert\vec{U}\times\vec{V}\vert\vert\\ &={1\over2}\vert\vert(15,-21,6)\vert\vert \end{align}\)

Já claculamos o módulo no item anterior, o que nos leva a:

\(\boxed{A_T={3\over2}\sqrt{78}}\)

c) O produto escalar entre dois vetores pode ser escrito de duas formas distintas:

\(\vec{U}\cdot\vec{V}=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v=\vert\vert\vec{U}\vert\vert\cdot\vert\vert\vec{V}\vert\vert\cos\theta\)

sendo \(\theta\) o ângulo entre os vetores. Temos então, para o valor pedido:

\(\begin{align} \cos\theta&={x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v\over\vert\vert\vec{U}\vert\vert\cdot\vert\vert\vec{V}\vert\vert}\\ &={3\cdot0+1\cdot2-4\cdot7\over\sqrt{3^2+1^2+4^2}\cdot\sqrt{0^2+2^2+7^2}}\\ &={0+2-28\over\sqrt{9+1+16}\cdot\sqrt{0+4+49}}\\ &=-{26\over\sqrt{26}\cdot\sqrt{53}}\\ \end{align}\)

Temos, portanto:

\(\boxed{\cos\theta=-\sqrt{26\over53}}\)

d) O volume de um prisma definido por três vetores é dado por:

\(\begin{align} V_P&=\vec{W}\cdot(\vec{U}\times\vec{V})\\ &=\vec{W}\cdot\vert\lambda\vert\vec{W}\\ &=\vert\lambda\vert\cdot\vert\vert\vec{W}\vert\vert^2\\ &=\vert\lambda\vert\cdot\left[{1\over\vert\lambda\vert}\vert\vert(15,-21,6)\vert\vert\right]^2\\ &={1\over\vert\lambda\vert}(2A_T)^2\\ &={1\over3\sqrt{78}}\left(2\cdot{3\over2}\sqrt{78}\right)^2\\ \end{align}\)

Finalmente:

\(\boxed{V_P=3\sqrt{78}}\)

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