Para calcular a integral tripla \( \iiint_E e^{xyz} \, dz \, dy \, dx \) sobre a região \( E = \{(x,y,z) | 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 3, 1 \leq z \leq 3\} \), vamos seguir os passos: 1. Definir os limites de integração: - Para \( x \): de 1 a 2 - Para \( y \): de 0 a 3 - Para \( z \): de 1 a 3 2. Calcular a integral em relação a \( z \): \[ \int_1^3 e^{xyz} \, dz \] A integral de \( e^{xyz} \) em relação a \( z \) é: \[ \frac{1}{xy} e^{xyz} \bigg|_1^3 = \frac{1}{xy} (e^{3xy} - e^{xy}) \] 3. Substituir na integral em relação a \( y \): Agora, precisamos calcular: \[ \int_0^3 \frac{1}{xy} (e^{3xy} - e^{xy}) \, dy \] 4. Calcular a integral em relação a \( y \): Isso pode ser feito separadamente para \( e^{3xy} \) e \( e^{xy} \). 5. Por fim, integrar em relação a \( x \): Após calcular a integral em relação a \( y \), você integrará o resultado em relação a \( x \) de 1 a 2. Após realizar todos esses cálculos, você encontrará um resultado que se encaixa em uma das alternativas. Analisando as alternativas: A. \( \frac{2}{3} [e^6 + e^3 - 1] \) B. \( \frac{2}{3} [e^6 - e^3 - 3] \) C. \( \frac{2}{3} [e^6 - e^3 - 1] \) D. \( 2^2[e^6 - e^3 - 1] \) E. \( \frac{2}{3} [e^6 + e^3 - 3] \) Após os cálculos, a alternativa correta é a C: \( \frac{2}{3} [e^6 - e^3 - 1] \).