Determine o valor de: log ⁡ 0 , 01 0 , 1 3 log 0,01 ​ 3 0,1 ​

Para resolver la expresión \( \log_{0.01}(0.1) \cdot 3 \log_{0.01}(3) \), sigamos los pasos: 1. **Calcular \( \log_{0.01}(0.1) \)**: - Sabemos que \( 0.01 = 10^{-2} \) y \( 0.1 = 10^{-1} \). - Usando la propiedad de logaritmos: \[ \log_{a}(b) = \frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)} \] - Entonces: \[ \log_{0.01}(0.1) = \frac{\log_{10}(0.1)}{\log_{10}(0.01)} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \] 2. **Calcular \( 3 \log_{0.01}(3) \)**: - Primero, calculamos \( \log_{0.01}(3) \): \[ \log_{0.01}(3) = \frac{\log_{10}(3)}{\log_{10}(0.01)} = \frac{\log_{10}(3)}{-2} \] - Entonces: \[ 3 \log_{0.01}(3) = 3 \cdot \frac{\log_{10}(3)}{-2} = -\frac{3 \log_{10}(3)}{2} \] 3. **Multiplicar los resultados**: - Ahora, multiplicamos los resultados: \[ \log_{0.01}(0.1) \cdot 3 \log_{0.01}(3) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{3 \log_{10}(3)}{2}\right) = -\frac{3 \log_{10}(3)}{4} \] Por lo tanto, el valor de la expresión es \( -\frac{3 \log_{10}(3)}{4} \).