Para resolver essa questão, precisamos entender que os coeficientes binomiais são dados pela fórmula \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \), onde \( n \) é o número total de termos e \( k \) é a posição do termo. Se os coeficientes binomiais do quarto e do décimo terceiro termos são iguais, isso significa que: \[ C(n, 3) = C(n, 12) \] Isso ocorre quando \( n = 15 \), pois \( C(15, 3) = C(15, 12) \). Agora, para encontrar o termo independente de \( x \), precisamos considerar que o termo independente ocorre quando a soma dos expoentes de \( x \) é igual a zero. No caso de um binômio, isso geralmente acontece em termos que têm a forma \( C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k \). No caso de \( n = 15 \), o termo independente de \( x \) ocorre no termo que não contém \( x \), que é o termo \( C(15, 7) \) (já que \( 15 - k = 0 \) implica \( k = 15 \)). Assim, o termo independente de \( x \) é o décimo segundo termo, pois a contagem começa em 0. Portanto, a alternativa correta é: d) décimo-segundo.