Para resolver essa questão, vamos usar algumas propriedades dos triângulos e as relações entre altura, mediana e segmentos. Dado que \( BH = AM = 4 \), sabemos que \( H \) é o pé da altura e \( M \) é o ponto médio de \( AC \). A mediana \( BM \) pode ser calculada usando a fórmula da mediana em um triângulo: \[ BM = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}{4}} \] Entretanto, como não temos os valores dos lados do triângulo, precisamos considerar a relação entre os segmentos. Sabemos que \( BH \) e \( AM \) são iguais e que \( H \) está entre \( B \) e \( C \). Isso nos dá uma relação que pode ser usada para encontrar \( BM \). A soma dos possíveis valores inteiros de \( BM \) deve ser calculada considerando que \( BM \) deve ser maior que \( BH \) e \( AM \) (que são 4) e deve respeitar a desigualdade triangular. Após analisar as opções dadas e considerando as propriedades do triângulo, podemos concluir que a soma dos possíveis valores inteiros de \( BM \) que atendem a essas condições é: A alternativa correta é: d) 21.