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(Ufrgs 2006) Considerando as raízes do polinômio p(x) = x4 + 16, pode-se afirmar que p(x)
a) não tem raízes no conjunto dos números complexos.
b) tem uma raiz de multipl icidade 4.
c) tem quatro raízes complexas distintas.
d) tem duas raízes duplas.
e) tem por gráfico uma curva que troca de concavidade.
f) Não sei.
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LM8A14 Polinômios
8 pág.

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ESTÁCIO

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Para analisar as raízes do polinômio \( p(x) = x^4 + 16 \), vamos primeiro reescrever a equação: \[ x^4 + 16 = 0 \] Isso implica que: \[ x^4 = -16 \] Podemos expressar -16 como \( 16e^{i\pi} \) (usando a forma polar). Assim, podemos encontrar as raízes: \[ x = \sqrt[4]{16} e^{i(\pi + 2k\pi)/4} \] onde \( k = 0, 1, 2, 3 \). Isso nos dá quatro raízes complexas distintas: 1. \( 2e^{i\pi/4} \) 2. \( 2e^{i(3\pi/4)} \) 3. \( 2e^{i(5\pi/4)} \) 4. \( 2e^{i(7\pi/4)} \) Portanto, a afirmação correta é que \( p(x) \) tem quatro raízes complexas distintas. Assim, a alternativa correta é: c) tem quatro raízes complexas distintas.

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(Mackenzie 2003) Se a equação x3 - 2bx2 - x + b2 = 0 tem duas raízes opostas, então um possível valor de b é:
a) -2
b) 1/2
c) -1
d) -3
e) 2
f) Não sei.

(Fuvest 1996) O número de pontos de intersecção dos gráficos das funções reais f(x) = (x2 + 1)/(x2 + 2) e g(x) = (x2 + 4)/(x2 + 3) é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
f) Não sei.

(Ufmg 1994) Os números -1 e 1 são duas raízes do polinômio P(x) = cx3 + ax2 + bx + 2c. A terceira raiz de P(x) é
a) -3
b) -2
c) 0
d) 1/2
e) 2
f) Não sei.

(Ime 2013) Os polinômios P(x) = x3 + ax2 + 18 e Q(x) = x3 + bx + 12 possuem duas raízes comuns. Sabendo que a e b são números reais, pode-se afirmar que satisfazem a equação
a) a = b
b) 2a = b
c) a = 2b
d) 2a = 3b
e) 3a = 2b
f) Não sei.

(Ita 1996) Considere o polinômio p(z) = z6 + 2z5 + 6z4 + 12z3 + 8z2 + 16z. Sobre as raízes da equação p(z) = 0, podemos afirmar que:
a) apenas uma é real.
b) apenas duas raízes são reais e distintas.
c) apenas duas raízes são reais e iguais.
d) quatro raízes são reais, sendo duas a duas distintas.
e) quatro raízes são reais, sendo apenas duas iguais.
f) Não sei.

(Ita 1995) Sabendo-se que e são raízes do polinômio 2x5 - 22x4 + 74x3 + 2x2 - 420x + 540, então a soma dos quadrados de todas as raízes reais é:
a) 17
b) 19
c) 21
d) 23
e) 25
f) Não sei.

(ITA - 74) O conjunto dos valores de k, para os quais f(x) = x3 - 2x2 + 3x - k tem um ou três zeros reais entre 1 e 2, é:
a) k < 2
b) 1 < k < 2
c) 2 > k ou k > 6
d) k >7
e) nenhuma das respostas anteriores
f) Não sei.

(ITA - 68) A equação 3x5 - x3 + 2x2 + x - 1 = 0 possui:
a) três raízes complexas e duas raízes reais
b) pelo menos uma raiz real positiva
c) todas raízes inteiras
d) uma raiz complexa
e) nenhuma das respostas anteriores
f) Não sei.

(ITA - 74) A equação xn - 1 = 0, onde n é um número natural maior do que 5, tem:
a) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n - 2) raízes complexas quando n é par
b) 1 raiz positiva, (n - 1) raízes não reais quando n é par
c) 1 raiz negativa, (n - 1) raízes complexas quando n é impar
d) 1 raiz positiva, 1 raiz negativa e (n - 2) raízes complexas quando n é um número natural qualquer
e) nenhuma das respostas anteriores
f) Não sei.

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