Para determinar os valores de \( k \) para os quais a função \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - k \) tem um ou três zeros reais entre 1 e 2, precisamos analisar a função e seu comportamento nesse intervalo. 1. Calcular \( f(1) \) e \( f(2) \): - \( f(1) = 1^3 - 2(1^2) + 3(1) - k = 1 - 2 + 3 - k = 2 - k \) - \( f(2) = 2^3 - 2(2^2) + 3(2) - k = 8 - 8 + 6 - k = 6 - k \) 2. Analisar os sinais: - Para que haja pelo menos um zero real entre 1 e 2, precisamos que \( f(1) \) e \( f(2) \) tenham sinais opostos, ou seja: - \( (2 - k) \cdot (6 - k) < 0 \) 3. Resolver a desigualdade: - Isso implica que um dos valores deve ser positivo e o outro negativo. - Portanto, temos duas situações: - \( 2 - k > 0 \) e \( 6 - k < 0 \) que resulta em \( k < 2 \) e \( k > 6 \) (não é possível). - \( 2 - k < 0 \) e \( 6 - k > 0 \) que resulta em \( k > 2 \) e \( k < 6 \). Assim, a função tem um zero real entre 1 e 2 para \( 2 < k < 6 \). 4. Verificar as alternativas: - a) \( k < 2 \) - Não é correto. - b) \( 1 < k < 2 \) - Não é correto. - c) \( 2 > k \) ou \( k > 6 \) - Não é correto. - d) \( k > 7 \) - Não é correto. - e) nenhuma das respostas anteriores - Correto, pois a solução correta é \( 2 < k < 6 \). Portanto, a resposta correta é: e) nenhuma das respostas anteriores.