Para encontrar a terceira raiz do polinômio \( P(x) = cx^3 + ax^2 + bx + 2c \), sabendo que -1 e 1 são raízes, podemos usar o fato de que, se -1 e 1 são raízes, podemos expressar o polinômio como: \[ P(x) = c(x + 1)(x - 1)(x - r) \] onde \( r \) é a terceira raiz que queremos encontrar. Sabemos que \( (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 \). Portanto, podemos reescrever \( P(x) \) como: \[ P(x) = c(x^2 - 1)(x - r) \] Expandindo isso, temos: \[ P(x) = c(x^3 - rx^2 - x + r) \] Agora, comparando com a forma original \( P(x) = cx^3 + ax^2 + bx + 2c \), podemos ver que: - O coeficiente de \( x^2 \) é \( -cr \) - O coeficiente de \( x \) é \( -c \) - O termo constante é \( cr \) Sabemos que o termo constante é \( 2c \). Portanto, temos: \[ cr = 2c \] Se \( c \neq 0 \), podemos dividir ambos os lados por \( c \): \[ r = 2 \] Assim, a terceira raiz do polinômio é \( r = 2 \). Portanto, a alternativa correta é: e) 2.