Para determinar a área do quadrado em função da distância \( A \) entre o centro do círculo inscrito no octógono e o ponto de interseção das diagonais do quadrado, precisamos considerar algumas propriedades geométricas. 1. Octógono Regular: Um octógono regular possui todos os lados e ângulos iguais. O centro do círculo inscrito está equidistante de todos os lados. 2. Quadrado: O quadrado construído sobre o lado \( MN \) terá suas diagonais se cruzando no centro do quadrado. 3. Relação entre A e a área do quadrado: A distância \( A \) pode ser relacionada ao apótema do octógono e à altura do quadrado. Se considerarmos que o lado do quadrado é \( L \), a altura do quadrado (que é igual ao lado) pode ser expressa em termos de \( A \). 4. Área do Quadrado: A área \( A_q \) do quadrado é dada por \( A_q = L^2 \). Para encontrar \( L \) em função de \( A \), você precisaria de mais informações sobre a relação entre o apótema do octógono e a distância \( A \). Se você tiver essa relação, poderá expressar \( L \) em função de \( A \) e, consequentemente, a área do quadrado. Se precisar de mais detalhes ou de uma fórmula específica, por favor, forneça mais informações sobre a relação entre \( A \) e o lado do quadrado.