Para resolver essa questão, precisamos entender a relação entre um triângulo retângulo e suas circunferências circunscrita e inscrita. 1. Triângulo Retângulo: Em um triângulo retângulo, a circunferência circunscrita tem como raio \( R \) igual à metade da hipotenusa. A circunferência inscrita tem um raio \( r \) que pode ser calculado pela fórmula \( r = \frac{a + b - c}{2} \), onde \( a \) e \( b \) são os catetos e \( c \) é a hipotenusa. 2. Soma dos Catetos: A questão nos diz que a soma dos catetos é \( k \) cm, ou seja, \( a + b = k \). 3. Cálculo dos Raios: - O raio da circunferência circunscrita \( R \) é dado por \( R = \frac{c}{2} \). - O raio da circunferência inscrita \( r \) é \( r = \frac{k - c}{2} \). 4. Perímetros das Circunferências: - O comprimento da circunferência circunscrita é \( 2\pi R = \pi c \). - O comprimento da circunferência inscrita é \( 2\pi r = \pi (k - c) \). 5. Soma dos Comprimentos: - A soma dos comprimentos das circunferências é: \[ \pi c + \pi (k - c) = \pi k \] Portanto, a soma dos comprimentos das duas circunferências é \( \pi k \) cm. A alternativa correta é: e) πk cm.