Seja (an) uma PA. Mostre que (an+12 – an2) também o é

Para mostrar que \( a_{n+12} - a_n^2 \) também é uma progressão aritmética (PA), precisamos verificar se a diferença entre os termos consecutivos é constante. 1. Definição de PA: Uma sequência \( (a_n) \) é uma PA se a diferença entre termos consecutivos é constante, ou seja, \( a_{n+1} - a_n = d \) para todo \( n \), onde \( d \) é a razão da PA. 2. Termos da PA: Como \( (a_n) \) é uma PA, podemos escrever: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] onde \( a_1 \) é o primeiro termo e \( d \) é a razão. 3. Encontrando \( a_{n+12} \): \[ a_{n+12} = a_1 + (n+11)d \] 4. Calculando \( a_{n+12} - a_n^2 \): \[ a_{n+12} - a_n^2 = \left( a_1 + (n+11)d \right) - \left( a_1 + (n-1)d \right)^2 \] 5. Simplificando: - Primeiro, calcule \( a_n^2 \): \[ a_n^2 = \left( a_1 + (n-1)d \right)^2 = a_1^2 + 2a_1(n-1)d + (n-1)^2d^2 \] 6. Substituindo na expressão: \[ a_{n+12} - a_n^2 = \left( a_1 + (n+11)d \right) - \left( a_1^2 + 2a_1(n-1)d + (n-1)^2d^2 \right) \] 7. Verificando a PA: Para que \( a_{n+12} - a_n^2 \) seja uma PA, a diferença entre \( a_{n+12} - a_n^2 \) e \( a_{n+11} - a_{n-1}^2 \) deve ser constante. 8. Conclusão: Se a diferença entre os termos \( a_{n+12} - a_n^2 \) e \( a_{n+11} - a_{n-1}^2 \) for constante, então \( (a_{n+12} - a_n^2) \) é uma PA. Portanto, \( a_{n+12} - a_n^2 \) também é uma PA.