Determine 5 racionais em PG, sabendo que sua soma é 121/3 e seu produto é 243.

Para resolver o problema, vamos considerar que os cinco números racionais em progressão geométrica (PG) podem ser representados como: \( a, ar, ar^2, ar^3, ar^4 \) onde \( a \) é o primeiro termo e \( r \) é a razão da PG. 1. Soma dos termos: A soma dos cinco termos é dada por: \[ a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 = a(1 + r + r^2 + r^3 + r^4) = \frac{121}{3} \] 2. Produto dos termos: O produto dos cinco termos é: \[ a^5 r^{10} = 243 \] 3. Resolvendo a soma: A soma \( 1 + r + r^2 + r^3 + r^4 \) pode ser expressa como: \[ \frac{r^5 - 1}{r - 1} \quad (r \neq 1) \] Assim, temos: \[ a \cdot \frac{r^5 - 1}{r - 1} = \frac{121}{3} \] 4. Resolvendo o produto: Sabemos que \( 243 = 3^5 \), então podemos escrever: \[ a^5 r^{10} = 3^5 \] 5. Encontrando os valores: Para simplificar, podemos tentar valores para \( r \) e resolver para \( a \). Vamos tentar \( r = 3 \): - Se \( r = 3 \): \[ 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 \quad \text{(soma correta)} \] Agora, substituindo na equação do produto: \[ a^5 \cdot 3^{10} = 243 \] \[ a^5 \cdot 59049 = 243 \] \[ a^5 = \frac{243}{59049} = \frac{1}{243} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{3} \] 6. Os termos da PG: Agora podemos encontrar os cinco termos: - \( a = \frac{1}{3} \) - \( ar = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 \) - \( ar^2 = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 \) - \( ar^3 = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9 \) - \( ar^4 = \frac{1}{3} \cdot 81 = 27 \) Portanto, os cinco racionais em PG são: \[ \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27 \]