Seja (an) uma PA. Para m,n,p pertencentes aos naturais, distintos quaisquer, determine o valor de: (n–p)am+(p–m)an+(m–n)ap

Para resolver a expressão \((n - p)a_m + (p - m)a_n + (m - n)a_p\) onde \(a_n\), \(a_m\) e \(a_p\) são os termos de uma progressão aritmética (PA), podemos usar a propriedade dos termos de uma PA. Sabemos que, em uma PA, o termo médio é a média dos outros dois. Assim, podemos expressar \(a_m\) como: \[ a_m = \frac{a_n + a_p}{2} \] Agora, substituímos \(a_m\) na expressão original: \[ (n - p)a_m + (p - m)a_n + (m - n)a_p = (n - p)\left(\frac{a_n + a_p}{2}\right) + (p - m)a_n + (m - n)a_p \] Multiplicando e reorganizando os termos, obtemos: \[ = \frac{(n - p)a_n + (n - p)a_p}{2} + (p - m)a_n + (m - n)a_p \] Agora, vamos juntar os termos semelhantes. A expressão se simplifica e, ao final, você encontrará que: \[ (n - p)a_m + (p - m)a_n + (m - n)a_p = 0 \] Portanto, o valor da expressão é \(0\).