Determine o intervalo dos possíveis q, de forma que que os lados de um triângulo formam uma PG de razão q.

Para que os lados de um triângulo formem uma progressão geométrica (PG) de razão \( q \), podemos considerar os lados como \( a \), \( aq \) e \( aq^2 \). Para que esses lados formem um triângulo, devem satisfazer as desigualdades triangulares: 1. \( a + aq > aq^2 \) 2. \( a + aq^2 > aq \) 3. \( aq + aq^2 > a \) Simplificando cada uma delas: 1. \( a(1 + q) > aq^2 \) → \( 1 + q > q^2 \) → \( q^2 - q - 1 < 0 \) 2. \( a(1 + q^2) > aq \) → \( 1 + q^2 > q \) → \( q^2 - q + 1 > 0 \) (sempre verdadeiro) 3. \( a(q + q^2) > a \) → \( q + q^2 > 1 \) → \( q^2 + q - 1 > 0 \) Agora, resolvendo a primeira e a terceira desigualdade: 1. Para \( q^2 - q - 1 < 0 \), as raízes são \( q = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \). O intervalo é \( \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) \). 2. Para \( q^2 + q - 1 > 0 \), as raízes são \( q = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \). O intervalo é \( (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \infty) \). A interseção dos intervalos nos dá o intervalo dos possíveis \( q \): Portanto, o intervalo dos possíveis \( q \) é: \[ \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) \] Esse é o intervalo que satisfaz as condições para que os lados formem um triângulo em PG.