Seja p = a*2a*4a*...*2na.Encontre p em função de a. A)Determine a se log2p = n+1

Para resolver a expressão \( p = a \cdot 2a \cdot 4a \cdots \cdot 2^n a \), podemos reescrever os termos: 1. O primeiro termo é \( a \). 2. O segundo termo é \( 2a = 2^1 a \). 3. O terceiro termo é \( 4a = 2^2 a \). 4. O último termo é \( 2^n a \). Assim, podemos expressar \( p \) como: \[ p = a \cdot (2^1 a) \cdot (2^2 a) \cdots (2^n a) \] Isso pode ser reescrito como: \[ p = a^{n+1} \cdot (2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \cdots \cdot 2^n) \] O produto das potências de 2 é: \[ 2^{0+1+2+\ldots+n} = 2^{\frac{n(n+1)}{2}} \] Portanto, temos: \[ p = a^{n+1} \cdot 2^{\frac{n(n+1)}{2}} \] Agora, para determinar \( a \) se \( \log_2 p = n + 1 \): \[ \log_2 p = \log_2 (a^{n+1} \cdot 2^{\frac{n(n+1)}{2}}) \] Usando a propriedade do logaritmo: \[ \log_2 p = (n+1) \log_2 a + \frac{n(n+1)}{2} \] Igualando a \( n + 1 \): \[ (n+1) \log_2 a + \frac{n(n+1)}{2} = n + 1 \] Isolando \( \log_2 a \): \[ (n+1) \log_2 a = n + 1 - \frac{n(n+1)}{2} \] \[ (n+1) \log_2 a = \frac{2(n + 1) - n(n + 1)}{2} \] \[ (n+1) \log_2 a = \frac{(2 - n)(n + 1)}{2} \] Assim, podemos encontrar \( a \): \[ \log_2 a = \frac{(2 - n)}{2} \] Portanto: \[ a = 2^{\frac{2 - n}{2}} \] Essa é a expressão de \( a \) em função de \( n \).