Para resolver essa questão, vamos analisar a situação passo a passo. 1. Área do quadrado Q1: O lado do quadrado Q1 mede \( a \). Portanto, a área de Q1 é: \[ A_1 = a^2 \] 2. Vértices do quadrado Q2: Os vértices de Q2 são os pontos médios dos lados de Q1. O lado de Q2 será \( \frac{a}{\sqrt{2}} \) (pois a diagonal do quadrado Q1 é \( a\sqrt{2} \) e o lado de Q2 é a metade da diagonal). 3. Área do quadrado Q2: A área de Q2 é: \[ A_2 = \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{2} \] 4. Repetindo o processo: Para cada quadrado subsequente \( Q_n \), a área será sempre a metade da área do quadrado anterior. Assim, temos: \[ A_3 = \frac{A_2}{2} = \frac{a^2}{4}, \quad A_4 = \frac{A_3}{2} = \frac{a^2}{8}, \quad \text{e assim por diante.} \] 5. Soma das áreas: A soma das áreas dos quadrados \( Q1, Q2, Q3, \ldots, Qn \) forma uma série geométrica: \[ S_n = A_1 + A_2 + A_3 + \ldots + A_n = a^2 + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} + \ldots + \frac{a^2}{2^{n-1}} \] A soma de uma série geométrica é dada por: \[ S_n = a^2 \left( \frac{1 - r^n}{1 - r} \right) \] onde \( r = \frac{1}{2} \). Portanto: \[ S_n = a^2 \left( \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} \right) = a^2 \left( 2 \left( 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) \right) \] 6. Resultado final: Assim, a soma das áreas dos quadrados até \( Q_n \) é: \[ S_n = 2a^2 \left( 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) \] Essa é a soma das áreas dos quadrados \( Q1, Q2, \ldots, Qn \).