Para calcular a altura relativa à base definida pelo vetor \( \mathbf{u} \) em relação ao paralelogramo formado pelos vetores \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \): \[ \mathbf{u} = (1, -1, 1) \quad \text{e} \quad \mathbf{v} = (2, -3, 4) \] O produto vetorial é dado por: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 4 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i}((-1) \cdot 4 - 1 \cdot (-3)) - \mathbf{j}(1 \cdot 4 - 1 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) \] \[ = \mathbf{i}(-4 + 3) - \mathbf{j}(4 - 2) + \mathbf{k}(-3 + 2) \] \[ = \mathbf{i}(-1) - \mathbf{j}(2) + \mathbf{k}(-1) \] \[ = (-1, -2, -1) \] 2. Calcular o módulo do produto vetorial: \[ |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] 3. Calcular o módulo do vetor \( \mathbf{u} \): \[ |\mathbf{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \] 4. Calcular a altura \( h \) relativa à base \( \mathbf{u} \)**: A área do paralelogramo é dada por \( |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| \) e a área também pode ser expressa como \( |\mathbf{u}| \cdot h \). Assim, temos: \[ |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}| \cdot h \] Substituindo os valores: \[ \sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot h \] Resolvendo para \( h \): \[ h = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \] Portanto, a altura relativa à base definida por \( \mathbf{u} \) é \( h = \sqrt{2} \).