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Parte III — Função Inversa
8. Determine, quando existir, a inversa das funções abaixo:
(a) f(x) = 5x − 7
(b) g(x) = (2x + 1)/3
(c) h(x) = x³
(d) p(x) = √(x − 1)
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Aprendendo com Desafios

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Lista de Exercícios de Funções
6 pág.

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UFCG

Respostas

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há 3 meses

Vamos determinar a função inversa de cada uma, quando existir: (a) f(x) = 5x − 7 Para encontrar f⁻¹(y), trocamos f(x) por y: y = 5x − 7 Isolando x: 5x = y + 7 x = (y + 7)/5 Logo, f⁻¹(x) = (x + 7)/5 (b) g(x) = (2x + 1)/3 y = (2x + 1)/3 Multiplicando ambos os lados por 3: 3y = 2x + 1 Isolando x: 2x = 3y − 1 x = (3y − 1)/2 Logo, g⁻¹(x) = (3x − 1)/2 (c) h(x) = x³ y = x³ Isolando x: x = ∛y Logo, h⁻¹(x) = ∛x (d) p(x) = √(x − 1) y = √(x − 1) Elevando ambos os lados ao quadrado: y² = x − 1 Isolando x: x = y² + 1 Logo, p⁻¹(x) = x² + 1, com domínio restrito para garantir a inversibilidade (x ≥ 0 para p(x)). Resumindo, as inversas são: (a) f⁻¹(x) = (x + 7)/5 (b) g⁻¹(x) = (3x − 1)/2 (c) h⁻¹(x) = ∛x (d) p⁻¹(x) = x² + 1 (com restrição de domínio) Se precisar de uma alternativa com essas respostas, me envie as opções para confirmar.

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Lista de Exercícios de Funções
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Parte I — Conceitos Básicos
1. Determine o domínio das funções abaixo:
(a) f(x) = 1 / (x− 3)
(b) g(x) = √(2x+ 5)
(c) h(x) = √(x− 1) / (x² − 4)
(d) p(x) = √(9− x²)
(e) q(x) = (x+ 1) / (x² − 9)
(f) r(x) = √(x² − 4x)
(g) s(x) = √(x+ 2) / (x− 1)
(h) t(x) = (x² + 1) / (x² − 16)

Parte I — Conceitos Básicos
3. Seja f : A → B definida por f(x) = 3x− 1, onde A = {0, 1, 2, 3}.
(a) Determine f(A).
(b) Escreva o contradomínio de f.
(c) Determine a imagem de f.

Parte II — Funções Injetivas, Sobrejetivas e Bijetivas
4. Considere a função f : R → R dada por f(x) = 2x + 1.
Mostre que f é bijetiva.

Parte II — Funções Injetivas, Sobrejetivas e Bijetivas
5. Considere a função f : R → R dada por f(x) = x².
(a) Mostre que f não é injetiva.
(b) Mostre que f não é sobrejetiva.
(c) Restrinja o domínio de f para torná-la bijetiva.

Parte II — Funções Injetivas, Sobrejetivas e Bijetivas
6. Determine se as funções abaixo são injetivas, sobrejetivas ou bijetivas.
(a) f : R → R, f(x) = x³
(b) g : R → R, g(x) = x² + 1
(c) h : Z → Z, h(x) = x + 5
(d) p : R → R, p(x) = x³ − 2x
(e) q : R → R, q(x) = x²
(f) r : [0,+∞) → [0,+∞), r(x) = √x
(g) s : R \ {0} → R \ {0}, s(x) = 1/x
(h) t : R → R, t(x) = x⁴ + 1

Parte II — Funções Injetivas, Sobrejetivas e Bijetivas
7. Sejam f : A → B e g : B → C funções.
(a) Mostre que a composição de funções injetivas é injetiva.
(b) Mostre que a composição de funções sobrejetivas é sobrejetiva.
(c) A composição de duas funções não injetivas pode ser injetiva? Justifique.

Parte III — Função Inversa
9. Seja f : R → R dada por f(x) = (x − 1) / (x + 2).
(a) Determine o domínio de f.
(b) Mostre que f é bijetiva.
(c) Determine f⁻¹(x).

Parte III — Função Inversa
10. Seja f : A → B uma função.
(a) Explique o que significa dizer que g : B → A é uma inversa à esquerda de f.
(b) Explique o que significa dizer que h : B → A é uma inversa à direita de f.
(c) Mostre que, se f possui inversa à esquerda, então f é injetiva.
(d) Mostre que, se f possui inversa à direita, então f é sobrejetiva.

Parte III — Função Inversa
11. Dê exemplos de:
(a) uma função que possua inversa à esquerda, mas não possua inversa à direita;
(b) uma função que possua inversa à direita, mas não possua inversa à esquerda;
(c) uma função que possua inversa.

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