Utilizando o método da Bissecção, a raiz da função f(x)=ex-3 no intervalo [1; 2] determinada com erro absoluto menor ou igual a 10-2 é:

Question

Ed · Answer

Vamos resolver passo a passo usando o método da bissecção para encontrar a raiz da função $ f(x) = e^x - 3 $ no intervalo $[1, 2]$ com erro absoluto menor ou igual a $10^{-2}$.

1. **Definição da função:**
   $$
   f(x) = e^x - 3
   $$

2. **Verificar os valores nos extremos do intervalo:**
   $$
   f(1) = e^1 - 3 \approx 2.718 - 3 = -0.282  0
   $$
   Como $f(1)  0$, existe uma raiz no intervalo $[1, 2]$.

3. **Critério de parada:**
   O erro absoluto deve ser menor ou igual a $10^{-2} = 0,01$.
   O método da bissecção reduz o intervalo pela metade a cada iteração.
   O número mínimo de iterações $n$ para garantir erro $\leq \varepsilon$ é:
   $$
   n \geq \frac{\log(b - a) - \log \varepsilon}{\log 2}
   $$
   Onde $a=1$, $b=2$, $\varepsilon=0,01$:
   $$
   n \geq \frac{\log(1) - \log(0,01)}{\log 2} = \frac{0 - (-2)}{0,3010} \approx \frac{2}{0,3010} \approx 6,64
   $$
   Ou seja, pelo menos 7 iterações.

4. **Iterações:**

| Iteração | a    | b    | c = (a+b)/2 | f(c)           | Sinal de f(c) | Novo intervalo       |
|----------|------|------|-------------|----------------|---------------|----------------------|
| 1        | 1    | 2    | 1,5         | $e^{1.5}-3 \approx 4.4817 - 3 = 1.4817 > 0$ | positivo      | [1, 1.5]             |
| 2        | 1    | 1.5  | 1.25        | $e^{1.25}-3 \approx 3.4903 - 3 = 0.4903 > 0$ | positivo      | [1, 1.25]            |
| 3        | 1    | 1.25 | 1.125       | $e^{1.125}-3 \approx 3.0802 - 3 = 0.0802 > 0$ | positivo      | [1, 1.125]           |
| 4        | 1    | 1.125| 1.0625      | $e^{1.0625}-3 \approx 2.9004 - 3 = -0.0996  0$ | positivo      | [1.09375, 1.109375]  |
| 7        |1.09375|1.109375|1.1015625  | $e^{1.1015625}-3 \approx 3.0113 - 3 = 0.0113 > 0$ | positivo      | [1.09375, 1.1015625] |

Após 7 iterações, o intervalo é $[1.09375, 1.1015625]$ com tamanho menor que 0,01.

5. **Resposta:**
A raiz aproximada é o ponto médio do intervalo final:
$$
x \approx \frac{1.09375 + 1.1015625}{2} = 1.09765625
$$

**Conclusão:**  
A raiz de $f(x) = e^x - 3$ no intervalo $[1, 2]$ com erro absoluto menor ou igual a $10^{-2}$ é aproximadamente **1,10**.

Cálculo Numérico

Utilizando o método da Bissecção, a raiz da função f(x)=ex-3 no intervalo [1; 2] determinada com erro absoluto menor ou igual a 10-2 é:

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