Utilizando o método da Secante, encontre a raiz da função f(x)=ex+1-3 no intervalo [0; 1] com erro absoluto menor ou igual a 10-2.

Vamos resolver passo a passo usando o método da Secante para encontrar a raiz da função \( f(x) = e^x + 1 - 3 = e^x - 2 \) no intervalo [0,1], com erro absoluto menor ou igual a \(10^{-2}\). 1. Definir a função: \[ f(x) = e^x - 2 \] 2. Escolher os pontos iniciais: Como o intervalo é [0,1], escolhemos: \[ x_0 = 0, \quad x_1 = 1 \] 3. Calcular \( f(x_0) \) e \( f(x_1) \): \[ f(0) = e^0 - 2 = 1 - 2 = -1 \] \[ f(1) = e^1 - 2 \approx 2.7183 - 2 = 0.7183 \] 4. Aplicar a fórmula da Secante: \[ x_{n+1} = x_n - f(x_n) \cdot \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \] 5. Iterações: - Iteração 1: \[ x_2 = 1 - 0.7183 \cdot \frac{1 - 0}{0.7183 - (-1)} = 1 - 0.7183 \cdot \frac{1}{1.7183} \approx 1 - 0.418 = 0.582 \] - Calcular \( f(x_2) \): \[ f(0.582) = e^{0.582} - 2 \approx 1.789 - 2 = -0.211 \] - Iteração 2: \[ x_3 = 0.582 - (-0.211) \cdot \frac{0.582 - 1}{-0.211 - 0.7183} = 0.582 + 0.211 \cdot \frac{-0.418}{-0.9293} \approx 0.582 + 0.095 = 0.677 \] - Calcular \( f(x_3) \): \[ f(0.677) = e^{0.677} - 2 \approx 1.968 - 2 = -0.032 \] - Iteração 3: \[ x_4 = 0.677 - (-0.032) \cdot \frac{0.677 - 0.582}{-0.032 - (-0.211)} = 0.677 + 0.032 \cdot \frac{0.095}{0.179} \approx 0.677 + 0.017 = 0.694 \] - Calcular \( f(x_4) \): \[ f(0.694) = e^{0.694} - 2 \approx 2.002 - 2 = 0.002 \] - Erro absoluto entre \( x_4 \) e \( x_3 \): \[ |0.694 - 0.677| = 0.017 > 0.01 \] - Iteração 4: \[ x_5 = 0.694 - 0.002 \cdot \frac{0.694 - 0.677}{0.002 - (-0.032)} = 0.694 - 0.002 \cdot \frac{0.017}{0.034} \approx 0.694 - 0.001 = 0.693 \] - Erro absoluto: \[ |0.693 - 0.694| = 0.001 < 0.01 \] 6. Conclusão: A raiz aproximada é \( x \approx 0.693 \) com erro absoluto menor que \(10^{-2}\). --- Resposta final: A raiz da função \( f(x) = e^x - 2 \) no intervalo [0,1] pelo método da Secante, com erro absoluto \(\leq 10^{-2}\), é aproximadamente \( x = 0.693 \).