Para responder as questões 1, 2 e 3, considere as seguintes matrizes: A = [[1, 2, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]], B = [[1, -2, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] e C = [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 1]].
Verifique se AB + C é uma matriz simétrica, justificando a sua resposta.

Question

Para responder as questões 1, 2 e 3, considere as seguintes matrizes: A = [[1, 2, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]], B = [[1, -2, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]...

Ed · Answer

Vamos analisar passo a passo se a matriz $ AB + C $ é simétrica.

Dadas as matrizes:

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 2 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

**1. Calcular $ AB $:**

Multiplicando $ A $ por $ B $:

$$
AB = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & -2 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

Calculando elemento a elemento:

- $ (1,1) = 1 \times 1 + 2 \times 0 + 0 \times 0 = 1 $
- $ (1,2) = 1 \times (-2) + 2 \times 1 + 0 \times 0 = -2 + 2 = 0 $
- $ (1,3) = 1 \times 0 + 2 \times 0 + 0 \times 1 = 0 $

- $ (2,1) = 0 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 0 = 0 $
- $ (2,2) = 0 \times (-2) + 1 \times 1 + 0 \times 0 = 1 $
- $ (2,3) = 0 \times 0 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 0 $

- $ (3,1) = 0 \times 1 + 0 \times 0 + 1 \times 0 = 0 $
- $ (3,2) = 0 \times (-2) + 0 \times 1 + 1 \times 0 = 0 $
- $ (3,3) = 0 \times 0 + 0 \times 0 + 1 \times 1 = 1 $

Logo,

$$
AB = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

**2. Somar $ AB + C $:**

$$
AB + C = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 2 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \
0 & 3 & 0 \
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
$$

**3. Verificar se $ AB + C $ é simétrica:**

Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta.

A matriz $ AB + C $ é diagonal, e matrizes diagonais são sempre simétricas, pois:

$$
(AB + C)^T = AB + C
$$

**Conclusão:**

Sim, a matriz $ AB + C $ é simétrica.

**Resposta correta:** $ AB + C $ é simétrica.

Álgebra Linear

Álgebra Linear - Matrizes e Sistemas

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Álgebra Linear - Matrizes e Sistemas

Sejam as matrizes A = [[1, 2], [0, 1]] e B = [[a, b], [c, d]].
Calcule a, b, c e d para que a matriz A seja a inversa da matriz B.

Dado o seguinte sistema linear: 2x + 3y − z = 1, 4x + 7y − 3z = 3, 6x + 9y − 2z = 4.
Utilize a noção de determinante para mostrar que o sistema é compatível e determinado e resolva-o, indicando cada operação realizada.

Para responder as questões 6 e 7, considere o seguinte subconjunto do R3: A = {(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, −2, −1)}, e S o subespaço gerado pelos vetores de A.
Encontre uma base para o subespaço S e dê a dimensão de S.

Considere os vetores u = (1, 1), v = (√2/2, −√2/2) e w = (1, 0).
Determine quais dentre os vetores u, v e w são unitários.

Considere os vetores u = (1, 1), v = (√2/2, −√2/2) e w = (1, 0).
Determine se u é ortogonal a v, se u é ortogonal a w e se v é ortogonal a w.

Considere o subespaço U = [(1, 1, 1, 0), (1, 0, 2, −1)] de dimensão 2 do R4.
Determine U⊥ e uma base de U⊥.

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Dado o seguinte sistema linear: 2x + 3y − z = 1, 4x + 7y − 3z = 3, 6x + 9y − 2z = 4.Utilize a noção de determinante para mostrar que o sistema é compatível e determinado e resolva-o, indicando cada operação realizada.

Para responder as questões 6 e 7, considere o seguinte subconjunto do R3: A = {(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, −2, −1)}, e S o subespaço gerado pelos vetores de A.Encontre uma base para o subespaço S e dê a dimensão de S.

Considere os vetores u = (1, 1), v = (√2/2, −√2/2) e w = (1, 0).Determine quais dentre os vetores u, v e w são unitários.

Considere os vetores u = (1, 1), v = (√2/2, −√2/2) e w = (1, 0).Determine se u é ortogonal a v, se u é ortogonal a w e se v é ortogonal a w.

Considere o subespaço U = [(1, 1, 1, 0), (1, 0, 2, −1)] de dimensão 2 do R4.Determine U⊥ e uma base de U⊥.

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Encontre uma base para o subespaço S e dê a dimensão de S.

Considere os vetores u = (1, 1), v = (√2/2, −√2/2) e w = (1, 0).
Determine quais dentre os vetores u, v e w são unitários.

Considere os vetores u = (1, 1), v = (√2/2, −√2/2) e w = (1, 0).
Determine se u é ortogonal a v, se u é ortogonal a w e se v é ortogonal a w.

Considere o subespaço U = [(1, 1, 1, 0), (1, 0, 2, −1)] de dimensão 2 do R4.
Determine U⊥ e uma base de U⊥.