Vamos resolver o sistema linear passo a passo usando a noção de determinante. Sistema: 1) 2x + 3y − z = 1 2) 4x + 7y − 3z = 3 3) 6x + 9y − 2z = 4 Passo 1: Montar a matriz dos coeficientes A \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & 7 & -3 \\ 6 & 9 & -2 \end{bmatrix} \] Passo 2: Calcular o determinante de A, det(A) \[ \det(A) = 2 \times \begin{vmatrix}7 & -3 \\ 9 & -2\end{vmatrix} - 3 \times \begin{vmatrix}4 & -3 \\ 6 & -2\end{vmatrix} + (-1) \times \begin{vmatrix}4 & 7 \\ 6 & 9\end{vmatrix} \] Calculando os menores: - \(\begin{vmatrix}7 & -3 \\ 9 & -2\end{vmatrix} = 7 \times (-2) - (-3) \times 9 = -14 + 27 = 13\) - \(\begin{vmatrix}4 & -3 \\ 6 & -2\end{vmatrix} = 4 \times (-2) - (-3) \times 6 = -8 + 18 = 10\) - \(\begin{vmatrix}4 & 7 \\ 6 & 9\end{vmatrix} = 4 \times 9 - 7 \times 6 = 36 - 42 = -6\) Substituindo: \[ \det(A) = 2 \times 13 - 3 \times 10 + (-1) \times (-6) = 26 - 30 + 6 = 2 \] Como \(\det(A) \neq 0\), o sistema é compatível determinado (tem solução única). --- Passo 3: Calcular os determinantes para encontrar x, y e z usando a Regra de Cramer Matriz dos termos independentes: \[ B = \begin{bmatrix}1 \\ 3 \\ 4\end{bmatrix} \] - Para \(x\), substituímos a primeira coluna de A por B: \[ A_x = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 3 & 7 & -3 \\ 4 & 9 & -2 \end{bmatrix} \] Calculando \(\det(A_x)\): \[ \det(A_x) = 1 \times \begin{vmatrix}7 & -3 \\ 9 & -2\end{vmatrix} - 3 \times \begin{vmatrix}3 & -3 \\ 4 & -2\end{vmatrix} + (-1) \times \begin{vmatrix}3 & 7 \\ 4 & 9\end{vmatrix} \] Calculando os menores: - \(\begin{vmatrix}7 & -3 \\ 9 & -2\end{vmatrix} = 13\) (já calculado) - \(\begin{vmatrix}3 & -3 \\ 4 & -2\end{vmatrix} = 3 \times (-2) - (-3) \times 4 = -6 + 12 = 6\) - \(\begin{vmatrix}3 & 7 \\ 4 & 9\end{vmatrix} = 3 \times 9 - 7 \times 4 = 27 - 28 = -1\) Substituindo: \[ \det(A_x) = 1 \times 13 - 3 \times 6 + (-1) \times (-1) = 13 - 18 + 1 = -4 \] - Para \(y\), substituímos a segunda coluna de A por B: \[ A_y = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 4 & 3 & -3 \\ 6 & 4 & -2 \end{bmatrix} \] Calculando \(\det(A_y)\): \[ \det(A_y) = 2 \times \begin{vmatrix}3 & -3 \\ 4 & -2\end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix}4 & -3 \\ 6 & -2\end{vmatrix} + (-1) \times \begin{vmatrix}4 & 3 \\ 6 & 4\end{vmatrix} \] Calculando os menores: - \(\begin{vmatrix}3 & -3 \\ 4 & -2\end{vmatrix} = 6\) (já calculado) - \(\begin{vmatrix}4 & -3 \\ 6 & -2\end{vmatrix} = 10\) (já calculado) - \(\begin{vmatrix}4 & 3 \\ 6 & 4\end{vmatrix} = 4 \times 4 - 3 \times 6 = 16 - 18 = -2\) Substituindo: \[ \det(A_y) = 2 \times 6 - 1 \times 10 + (-1) \times (-2) = 12 - 10 + 2 = 4 \] - Para \(z\), substituímos a terceira coluna de A por B: \[ A_z = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 7 & 3 \\ 6 & 9 & 4 \end{bmatrix} \] Calculando \(\det(A_z)\): \[ \det(A_z) = 2 \times \begin{vmatrix}7 & 3 \\ 9 & 4\end{vmatrix} - 3 \times \begin{vmatrix}4 & 3 \\ 6 & 4\end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix}4 & 7 \\ 6 & 9\end{vmatrix} \] Calculando os menores: - \(\begin{vmatrix}7 & 3 \\ 9 & 4\end{vmatrix} = 7 \times 4 - 3 \times 9 = 28 - 27 = 1\) - \(\begin{vmatrix}4 & 3 \\ 6 & 4\end{vmatrix} = -2\) (já calculado) - \(\begin{vmatrix}4 & 7 \\ 6 & 9\end{vmatrix} = -6\) (já calculado) Substituindo: \[ \det(A_z) = 2 \times 1 - 3 \times (-2) + 1 \times (-6) = 2 + 6 - 6 = 2 \] --- Passo 4: Calcular as variáveis \[ x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-4}{2} = -2 \] \[ y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} = \frac{2}{2} = 1 \] --- Resposta final: \[ \boxed{ x = -2, \quad y = 2, \quad z = 1 } \] O sistema é compatível determinado e a solução é \(x = -2\), \(y = 2\), \(z = 1\).