Álgebra Linear

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Considere os vetores u = (1, 1), v = (√2/2, −√2/2) e w = (1, 0). Determine se u é ortogonal a v, se u é ortogonal a w e se v é ortogonal a w.

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Álgebra Linear - Matrizes e Sistemas

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Vamos analisar a ortogonalidade dos vetores dados usando o produto escalar. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Dados: - u = (1, 1) - v = (√2/2, −√2/2) - w = (1, 0) 1. Produto escalar u · v: u · v = (1)(√2/2) + (1)(−√2/2) = √2/2 − √2/2 = 0 Logo, u é ortogonal a v. 2. Produto escalar u · w: u · w = (1)(1) + (1)(0) = 1 + 0 = 1 ≠ 0 Logo, u não é ortogonal a w. 3. Produto escalar v · w: v · w = (√2/2)(1) + (−√2/2)(0) = √2/2 + 0 = √2/2 ≠ 0 Logo, v não é ortogonal a w. Conclusão: - u é ortogonal a v. - u não é ortogonal a w. - v não é ortogonal a w.

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Para responder as questões 1, 2 e 3, considere as seguintes matrizes: A = [[1, 2, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]], B = [[1, -2, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] e C = [[1, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 1]].
Verifique se AB + C é uma matriz simétrica, justificando a sua resposta.

Sejam as matrizes A = [[1, 2], [0, 1]] e B = [[a, b], [c, d]].
Calcule a, b, c e d para que a matriz A seja a inversa da matriz B.

Dado o seguinte sistema linear: 2x + 3y − z = 1, 4x + 7y − 3z = 3, 6x + 9y − 2z = 4.
Utilize a noção de determinante para mostrar que o sistema é compatível e determinado e resolva-o, indicando cada operação realizada.

Para responder as questões 6 e 7, considere o seguinte subconjunto do R3: A = {(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, −2, −1)}, e S o subespaço gerado pelos vetores de A.
Encontre uma base para o subespaço S e dê a dimensão de S.

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Verifique se AB + C é uma matriz simétrica, justificando a sua resposta.

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Calcule a, b, c e d para que a matriz A seja a inversa da matriz B.

Dado o seguinte sistema linear: 2x + 3y − z = 1, 4x + 7y − 3z = 3, 6x + 9y − 2z = 4.
Utilize a noção de determinante para mostrar que o sistema é compatível e determinado e resolva-o, indicando cada operação realizada.

Para responder as questões 6 e 7, considere o seguinte subconjunto do R3: A = {(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, −2, −1)}, e S o subespaço gerado pelos vetores de A.
Encontre uma base para o subespaço S e dê a dimensão de S.

Considere os vetores u = (1, 1), v = (√2/2, −√2/2) e w = (1, 0).
Determine quais dentre os vetores u, v e w são unitários.

Considere o subespaço U = [(1, 1, 1, 0), (1, 0, 2, −1)] de dimensão 2 do R4.
Determine U⊥ e uma base de U⊥.

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