Vamos analisar os vetores do conjunto A = {(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, −2, −1)} para encontrar uma base e a dimensão do subespaço S gerado por eles. Passo 1: Verificar se os vetores são linearmente independentes. Montamos a matriz cujas linhas são os vetores: \[ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & -1 \end{bmatrix} \] Passo 2: Aplicar operações para verificar independência. Vamos verificar se algum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. - Tente expressar o terceiro vetor como combinação dos dois primeiros: Se existir \(a, b\) tais que: \[ a(0,1,1) + b(2,0,1) = (2, -2, -1) \] Isso gera o sistema: \[ \begin{cases} 0 \cdot a + 2b = 2 \\ 1 \cdot a + 0 \cdot b = -2 \\ 1 \cdot a + 1 \cdot b = -1 \end{cases} \] Da segunda equação: \(a = -2\) Da primeira: \(2b = 2 \Rightarrow b = 1\) Verificando a terceira: \(-2 + 1 = -1\), que é verdadeiro. Portanto, o terceiro vetor é combinação linear dos dois primeiros. Passo 3: Conclusão Os vetores \((0,1,1)\) e \((2,0,1)\) são linearmente independentes e geram o subespaço S. Assim: - Base de S: \(\{(0,1,1), (2,0,1)\}\) - Dimensão de S: 2 Resposta final: Base: \(\{(0,1,1), (2,0,1)\}\) Dimensão: 2