Considere o subespaço U = [(1, 1, 1, 0), (1, 0, 2, −1)] de dimensão 2 do R4. Determine U⊥ e uma base de U⊥.

Vamos resolver passo a passo. Dado o subespaço \( U = \text{span}\{(1,1,1,0), (1,0,2,-1)\} \subset \mathbb{R}^4 \), queremos encontrar \( U^\perp \), o ortogonal de \( U \), e uma base para \( U^\perp \). Passo 1: Definição de \( U^\perp \) \( U^\perp = \{ v \in \mathbb{R}^4 \mid v \cdot u = 0 \text{ para todo } u \in U \} \). Como \( U \) é gerado por dois vetores, \( v \in U^\perp \) deve ser ortogonal a ambos. Passo 2: Escreva \( v = (x, y, z, w) \in \mathbb{R}^4 \) e imponha as condições: \[ v \cdot (1,1,1,0) = x + y + z + 0 = 0 \] \[ v \cdot (1,0,2,-1) = x + 0 + 2z - w = 0 \] Passo 3: Sistema de equações: \[ \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + 2z - w = 0 \end{cases} \] Passo 4: Isolar variáveis: Da primeira equação: \( y = -x - z \) Da segunda equação: \( w = x + 2z \) Passo 5: Escreva \( v \) em função de \( x \) e \( z \): \[ v = (x, y, z, w) = (x, -x - z, z, x + 2z) \] Passo 6: Separe os parâmetros: \[ v = x(1, -1, 0, 1) + z(0, -1, 1, 2) \] Conclusão: Uma base para \( U^\perp \) é: \[ \{ (1, -1, 0, 1), (0, -1, 1, 2) \} \] --- Resposta final: \[ U^\perp = \text{span}\{ (1, -1, 0, 1), (0, -1, 1, 2) \} \] e a base de \( U^\perp \) é \(\{ (1, -1, 0, 1), (0, -1, 1, 2) \}\).