Determine x tal que ax-b=c

Neste exercício, será determinada a matriz \(x\) através da seguinte equação:

\(\Longrightarrow ax-b=c\)

Substituindo as matrizes conhecidas na equação anterior, tem-se que:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} x - \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 4 & 3 \\ 10 & 8 & 2 \end{bmatrix}\)

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 8 & 4 & 3 \\ 10 & 8 & 2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 10 & 6 & 2 \\ 13 & 8 & 3 \end{bmatrix}\)

Agora, é necessário calcular a matriz inversa de \(a\) através da seguinte matriz:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & | & 1 & 0\\ 1 & 4 & | & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ \end{matrix}\)

O objetivo é transformar a matriz do lado esquerdo em uma matriz identidade.

O objetivo agora é eliminar o termo \(a_{21}=1\) na linha 2 e coluna 1. Realizando a operação \((I)-(II)\), a nova linha \((II)\) é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & | & 1 & 0\\ 0 & -1 & | & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ \end{matrix}\)

O objetivo agora é eliminar o termo \(a_{12}=3\) na linha 1 e coluna 2. Realizando a operação \((I)+3(II)\), a nova linha \((I)\) é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & 4 & -3\\ 0 & -1 & | & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ \end{matrix}\)

Multiplicando a linha \((II)\) por \(-1\), a matriz resultante é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & 4 & -3\\ 0 & 1 & | & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ \end{matrix}\)

Como a matriz do lado esquerdo virou uma identidade, a matriz do lado direito é a matriz inversa de \(a\). Ou seja:

\(\Longrightarrow a^{-1}= \begin{bmatrix} 4 & -3\\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)

Retornando à equação \(\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 10 & 6 & 2 \\ 13 & 8 & 3 \end{bmatrix}\) e multiplicando os dois lados por \(a^{-1}\), a equação resultante é:

\(\Longrightarrow \color{Red} {\begin{bmatrix} 4 & -3\\ -1 & 1 \end{bmatrix} }\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} x = \color{Red} {\begin{bmatrix} 4 & -3\\ -1 & 1 \end{bmatrix} } \begin{bmatrix} 10 & 6 & 2 \\ 13 & 8 & 3 \end{bmatrix}\)

No lado direito da equação anterior, há a multiplicação de uma matriz 2x2 por uma 2x3. Portanto, o resultado é uma matriz 2x3. Com isso, a matriz \(x\) é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} x = \begin{bmatrix} 4 \cdot 10+(-13) \cdot 3 & 4 \cdot 6+(-3) \cdot 8 & 4 \cdot 2+(-3) \cdot 3 \\ -1 \cdot 10 +1 \cdot 13 & -1 \cdot 6+1 \cdot 8 & -1 \cdot 2+1 \cdot 3 \end{bmatrix}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} $}\)