Uma combinação linear de vetores é uma soma de múltiplos escalares do vetor. Em linguagem matemática, \(V\) é combinação linear se existem \(a,b, c,....m\), tais que:

\(V=ax+by+cz.....mn\)

Para qe os vetores \(U=(1,-3,2)\) e \(L= (2,4,-1)\) sejam uma combinação linear de \(V=(4,3,-6)\):

\(x1.U+ x2. L= V\)

\(x1.(1,-3,2)+x2.(2,4,-1)= (4,3,-6)\\ (x1; -3x1; 2x1) + ( 2x2, 4x2, -x2) =(4,3,-6)\)

\(x1+2x2=4\)    Equação \(1\)

\(-3x1+4x2=3\)     Equação \(2\) 

\(2x1-x2=-6\)        Equação \(3\)

Da equação \(1\):

\(x1=4-2x2\)

Substituindo em \(2\):

\(-3x1+4x2=3\\ -3(4-2x2)+4x2=3\\ -12+6x2+4x2=3\\ 10x2=15\\ x2=1,5\\ x1= 4-2.1,5\\ x1=1\)

Substituindo esses valores na equação \(3\) apenas para verificar se são válidas:

\(2.1-1,5=-6\)

Ou seja, não satisfaz

Fazendo essa mesma conta mas entre as equações \(2\) e \(3\), \(1\) e \(3\), nenhumas das soluções irá satisfazer todas as equações.

Com isso concluimos que \(V=(4,3,-6)\) não é uma combinação linear de S.