Dada a equação 4x2+9y2=1 e dxdt=3, calcule dydt quando (x,y)=(122,132).

4x²+9y²=1

(dx(4x²)/dx)*(dx/dt) + (dy(9y²)/dx)*(dy/dt) = 0

8x*(dx/dt) + 18y*(dy/dt)= 0

(8*122*3) + (18*132*(dy/dt)) = 0

dy/dt = 2928 / 576 

dy/dt ≅ 5,08

Temos a seguinte equação da curva:

\(4x^2+9y^2=1\)

Derivando implicitamente em relação a \(t\), temos:

\(\begin{align} {d\over dt}(4x^2+9y^2)&={d\over dt}1\\ {d\over dt}(4x^2)+{d\over dt}(9y^2)&=0\\ 4\left(2x{dx\over dt}\right)+9\left(2y{dy\over dt}\right)&=0\\ \end{align}\)

Substituindo os dados do enunciado, temos:

\(\begin{align} 4\left(122\cdot 3\right)+9\left(132{dy\over dt}\right)&=0\\ \end{align}\)

Resolvendo a equação, temos:

\(\begin{align} 4\left(122\right)+3\left(132{dy\over dt}\right)&=0\\ \left(122\right)+3\left(33{dy\over dt}\right)&=0\\ \end{align}\)

Logo a derivada pedida é dada por:

\(\boxed{{dy\over dt}=-{122\over99}}\)