ache a equacao de reta que seja tangente a curva x4-6x e perpendicular a reta x-2y+6=0

Olá! não dá para enteder sua pergunta, use símbolos matemáticos adequados (use latex!). Contudo o conteúdo que você precisa está em qualquer livros de geometria analítica, ou de cálculo 2. Para que duas curvas sejam para que uma reta seja tangente (paralela) deve ter mesmo coeficiente angular. Já para que seja perpendicular a uma curva deve satisfazer que a multiplicação dos coeficientes angulares das curvas em questão devem dar 1.

Esqueci de terminar... você então terá duas equações (ou condições) a primeira que seja paralela a primeria curva e a segunda que seja perpendicular a reta, e em posse destes dois dados terá um sistema que a sulução te leva a resposta.

Neste exercício, será encontrada a reta \(y_{r} = a_{r}x+b_r\).

A inclinação da reta \(x-2y+6=0\) é:

\(\Longrightarrow x-2y+6=0\)

\(\Longrightarrow 2y=x+6\)

\(\Longrightarrow y={1 \over 2}x+3\)    \(\rightarrow \underline { a={1 \over 2}}\)

Para que \(y_r\) seja perpendicular a \(x-2y+6=0\), o valor da inclinação \(a_r\) deve ser de:

\(\Longrightarrow a_r = -{1 \over a}\)

\(\Longrightarrow a_r = -{1 \over 1/2}\)

\(\Longrightarrow \underline { a_r = -2 }\)    \((I)\)

Portanto, a função \(y_r\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow y_{r} = -2x+b_r\)   \((II)\)

A inclinação da reta tangente à curva \(y_{c}=x^4 - 6x\) em um ponto \((x,y)\) é:

\(\Longrightarrow {dy_{c} \over dx}={d \over dx}(x^4 - 6x)\)

\(\Longrightarrow {dy_{c} \over dx}=4x^3 - 6\)    \((III)\)

Já que as equações \((I)\) e \((III)\) representam a inclinação de \(y_r\), pode-se escrever o seguinte:

\(\Longrightarrow a_r = {dy_{c} \over dx}\)

\(\Longrightarrow -2= 4x^3 - 6\)

Portanto, a coordenada \(x_0\) onde \(y_r\) e \(y_c\) se cruzam é:

\(\Longrightarrow -2= 4x_0^3 - 6\)

\(\Longrightarrow 6-2= 4x_0^3 \)

\(\Longrightarrow 4x_0^3 =4\)

\(\Longrightarrow x_0^3 =2\)

\(\Longrightarrow \underline {x_0 =1 }\)

Portanto, de acordo com a curva \(y_{c}=x^4 - 6x\), o valor de \(y_0\) é:

\(\Longrightarrow y_0=x_0^4 - 6x_0\)

\(\Longrightarrow y_0=1^4 - 6 \cdot 1\)

\(\Longrightarrow \underline {y_0=-5}\)

Finalmente, pela equação \((II)\), o valor de \(b_r\) é:

\(\Longrightarrow y_{0} = -2x_0+b_r\)

\(\Longrightarrow -5= -2\cdot 1+b_r\)

\(\Longrightarrow b_r=2-5\)

\(\Longrightarrow \underline {b_r=-3 }\)

Com isso, a resposta final do exercício é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y_{r} = -2x-3 $}\)