Determine os cossenos diretores dos vetores: A=(1,1,2), B=(1,2,3) e C=(2,2,1)

O cosseno diretor de um vetor é a componente do vetor naquela direção dividido pelo módulo do seu versor, ou seja, para cada componente (x,y,z) têm-se um cosseno diretor. 

no exemplo um por exemplo, primeiro vc acha o modulo que seria √6, logo os cossenos seriam 1/√6; 1/√6; e 2/√6 

Para o cálculo de cossenos diretores utilizamos as fórmulas:

\(cos\alpha=\frac{x}{|V^\rightarrow|}\)

\(cos\beta=\frac{y}{|V^\rightarrow|}\)

\(cos\gamma=\frac{z}{|V^\rightarrow|}\)

Assim, vamos começar calcular os módulos dos vetores: 

\(|A|=\sqrt{1^2+1^2+2^2}=\sqrt{6}\)

\(|B|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}\)

\(|C|=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=\sqrt{9}=3\)

Assim, os cossenos diretores do vetor A é:

\(cos\alpha=\frac{x}{|V^\rightarrow|}=\frac{1}{\sqrt6}\)

\(\alpha=arcos{1/\sqrt6}=\boxed{65,90}\)

\(cos\beta=\frac{y}{|V^\rightarrow|}=1/\sqrt6\)

\(\beta=arcos{1/\sqrt6}=\boxed{65,90}\)

\(cos\gamma=\frac{z}{|V^\rightarrow|}=\frac{2}{\sqrt6}\)

\(\gamma=arcos(2/\sqrt6)=\boxed{35,26}\)

Seguindo o mesmo raciocinio, os cossenos diretores de B são:

\(cos\alpha=\frac{x}{|V^\rightarrow|}=\frac{1}{\sqrt14}\)

\(\alpha=arcos({1/\sqrt14)}=\boxed{74,50}\)

\(cos\beta=\frac{y}{|V^\rightarrow|}=2/\sqrt14\)

\(\beta=arcos({2/\sqrt14})=\boxed{57,69}\)

\(cos\gamma=\frac{z}{|V^\rightarrow|}=\frac{3}{\sqrt14}\)

\(\gamma=arcos(3/\sqrt14)=\boxed{36,70}\)

Por fim, para o vetor C:

\(cos\alpha=\frac{x}{|V^\rightarrow|}=\frac{2}{3}\)

\(\alpha=arcos({2/3})=\boxed{48,19}\)

\(cos\beta=\frac{y}{|V^\rightarrow|}=2/3\)

\(\beta=arcos(2/3)=\boxed{48,19}\)

\(cos\gamma=\frac{z}{|V^\rightarrow|}=\frac{1}{3}\)

\(\gamma=arcos(1/3)=\boxed{70,53}\)