Qual é a derivada parcial de \(f(x,y)=\ln(x^2 +xy^2 )\) em relação a x?

Queremos a seguinte derivada:

\(\frac{\partial }{\partial \:x}\left(ln\left(x^2+xy^2\right)\right)\)

Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia ( deriva a função de fora, que é ln u, onde \(u=x^2+xy^2\) e multiplica pela derivada de u)

\(\frac{\partial }{\partial \:x}\left(ln\left(x^2+xy^2\right)\right)=\frac{1}{x^2+xy^2}.(2x+y^2)\\\)

Simplificando:

\(\frac{1}{x^2+xy^2}.(2x+y^2)=\frac{2x+y^2}{x^2+xy^2}\)

Portanto:

\(\frac{\partial }{\partial \:x}\left(ln\left(x^2+xy^2\right)\right)=\frac{2x+y^2}{x^2+xy^2}\)