núcleo e imagem de uma transformação linear

Seja a base canonica [i,j,k] a usual e i=(1,0,0), j=(0,0,1) e k=(0,0,1) como há uma bijeção de RXR E RXRXR lembre-se a tranformação linear só ocorre quando a dimensao é menor que a outra. entao 2<3 então vale a propriedade .

a) O nucleo de f é uma base para ele, basta aplicar a associatividade entre elementos x=x+2y,y=x-y e z=2x sendo z uma constante nao nula, logo x é um parametro lambda percorrendo todos os reais. Agora basta resolver o sistema linear.

b) Em conformidade com o item a,aplicamos a imagem do conjunto então F é um corpo de escalares, portante a base é a canonica basta substituir i,j e k pelas coordenadas ,i=(1,0,0) ,j=(0,1,0) e k=(0,0,1) agora esse resultado dara uma equação parametrica com isso voce encontrara os geradores do sistema linear.

c) Conforme o item a e b basta agora aplicar o nucleo em somar entao x+x+2y=0 y+x-y=0 e z+2x=0 resolva o sistema pelo metodo que voce desejar,caiu em um sistema linear do e.m

Espero que tenha ajudado.

Um elemento (x, y, z) de R3 pertence ao núcleo de T se T(x, y, z) = x+y −z = 0 ⇒ x = −y +z. Assim um elemento do núcleo de T é da forma: (x, y, z) = (−y +z, y, z) = y(−1, 1, 0)+z(1, 0, 1). Assim, {(−1, 1, 0),(1, 0, 1)} é um conjunto de geradores para o núcleo de T. Escalonando, podemos constatar que este conjunto é L.I. e assim, é uma base para N (T), logo, dim(N (T)) = 2. Vamos achar um conjunto de geradores para a imagem de T. A transformação T pode ser escrita da forma: T(x, y, z) = x + y − z = 1(x + y − z) Assim, {1} é um conjunto de geradores para a imagem e por ser L.I., é uma base para Im(T), assim, dim(Im(T)) = 1. Observe que dim(N (T)) = 2 e dim(Im(T)) = 1, logo dim(N (T))+dim(Im(T)) = 3 = dim(R3 ), como era de se esperar, pelo teorema do núcleo e da imagem.

Determinar uma transformação linear T : R3 −→ R3 cuja imagem é gerada por (2, 1, 1) e (1, −1, 2). Como os elementos (2, 1, 1) e (1, −1, 2) são L.I. em R3 , temos que eles formam uma base para a imagem de T, logo, dim(Im(T)) = 2. Portanto, pelo teorema do núcleo e da imagem, sabemos que dim(N (T)) = 1. Desta forma, escolhemos uma base para R3 , por exemplo, a base canônica B = {(1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1)} e podemos definir, por exemplo, a transformação linear T da seguinte forma: T(1, 0, 0) = (0, 0, 0), T(0, 1, 0) = (2, 1, 1), T(0, 0, 1) = (1, −1, 2) Desta forma, a imagem será gerada pelo conjunto dado e o núcleo terá dimensão 1. Assim, teremos: T(x, y, z) = xT(1, 0, 0) + yT(0, 1, 0) + zT(0, 0, 1) = x(0, 0, 0) + y(2, 1, 1) + z(1, −1, 2) ⇒ ⇒ T(x, y, z) = (2y + z, y − z, y + 2z) Observe que a resposta não é única e depende da escolha da base para R3 e também de quais elementos da base serão levados nos geradores da imagem.