como calcular um limite indeterminado?

Se for uma indeterminação do tipo  \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\pm\infty}{\pm\infty}\) você pode usar a regra de L'Hospital, com essa regra você deriva a função do numerador e a do denominador, após ter feito isso, pode aplicar o limite.

Exemplo: \(\lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1}\) 

Note que ln(1) = 0 e que 1-1 = 0 

Portanto temos uma indeterminação do tipo \(\frac{0}{0}\) lo aplicando a rega de L'Hospital segue:

\(\lim_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1}\) = \(\lim_{x \to 1} \frac{(ln(x))'}{(x-1)'}\) = \(\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}\) = 1

Pode também manipular o limite a partir de propriedades matemáticas, simplificando a função. São alguns dos métodos. 

Contextualização:

A Indeterminação no cálculo dos Limites ocorre quando calcula-se o limite de uma função e nos deparamos com os seguintes símbolos:

Veja um exemplo onde isto ocorre:

Logo, nestes casos tem-se que repensar o procedimento de cálculo fazendo alguma manipulação algébrica na expressão para superar esta indeterminação.  

Resolução:

Abaixo discorreremos sobre três formas de contornar essa indeterminação:

1) Fazendo fatoração, utilizando o Algoritmo de Briot-Ruffini. Exemplo:

Aplicando Briot-Ruffini no numerador, temos:

Simplificando o termo em comum, tem-se:

E então:

2) Racionalizando: Este método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma raiz, por isso a estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz. Exemplo:

Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo termo que contem a raiz, porém com sinal contrário:

Logo, tem-se:

3) Fazendo mudança de variável: Este método considera-se como sendo um truque algébrico em que se utiliza para facilitar a solução da indeterminação. Exemplo:

Note que, para contornar isso faz-se uma mudança de variável do tipo  . Assim, elevando ao cubo nos dois lados tem-se que:  , logo  .

Além disso, deve-se também transformar o ponto ao qual se quer saber o limite. A partir da equação   podemos dizer que, quando   também  .

Assim, substituindo tem-se:

Além do mais, note que aqui ainda temos uma indeterminação, por isso reescrevendo o denominador utilizando Briot-Ruffini, temos:

Por conseguinte, simplificando e resolvendo tem-se:

Outra estratégia seria dividir o numerador e o denominador por  , na qual fica-se com:

Conclusão:

Portanto, mostramos três maneiras de contornar um limite indeterminado:

1) Fazendo fatoração, utilizando o Algoritmo de Briot-Ruffini.

2) Racionalizando: método utilizado quando no numerador ou denominador contém uma raiz, por isso a estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.

3) Fazendo mudança de variável: método considerado um truque algébrico em que se utiliza para facilitar a solução da indeterminação.

Contextualização:

A Indeterminação no cálculo dos Limites ocorre quando calcula-se o limite de uma função e nos deparamos com os seguintes símbolos:

Veja um exemplo onde isto ocorre:

Logo, nestes casos tem-se que repensar o procedimento de cálculo fazendo alguma manipulação algébrica na expressão para superar esta indeterminação.

Resolução:

Abaixo discorreremos sobre três formas de contornar essa indeterminação:

1) Fazendo fatoração, utilizando o Algoritmo de Briot-Ruffini. Exemplo:

Aplicando Briot-Ruffini no numerador, temos:

Simplificando o termo em comum, tem-se:

E então:

2) Racionalizando: Este método é utilizado quando no numerador ou denominador contém uma raiz, por isso a estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz. Exemplo:

Assim, deve-se multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo termo que contem a raiz, porém com sinal contrário:

Logo, tem-se:

3) Fazendo mudança de variável: Este método considera-se como sendo um truque algébrico em que se utiliza para facilitar a solução da indeterminação. Exemplo:

Note que, para contornar isso faz-se uma mudança de variável do tipo . Assim, elevando ao cubo nos dois lados tem-se que: , logo .

Além disso, deve-se também transformar o ponto ao qual se quer saber o limite. A partir da equação podemos dizer que, quando também .

Assim, substituindo tem-se:

Além do mais, note que aqui ainda temos uma indeterminação, por isso reescrevendo o denominador utilizando Briot-Ruffini, temos:

Por conseguinte, simplificando e resolvendo tem-se:

Outra estratégia seria dividir o numerador e o denominador por , na qual fica-se com:

Conclusão:

Portanto, mostramos três maneiras de contornar um limite indeterminado:

1) Fazendo fatoração, utilizando o Algoritmo de Briot-Ruffini.

2) Racionalizando: método utilizado quando no numerador ou denominador contém uma raiz, por isso a estratégia é racionalizar o termo que contém a raiz.

3) Fazendo mudança de variável: método considerado um truque algébrico em que se utiliza para facilitar a solução da indeterminação.